তিনি অন্তরকলন পড়া শুরু করেন ফরাসি ধর্মযাজক অ্যাবে সউরি নামক একজন গণিতবিদের লেখা বই থেকে যার নাম “গণিতের পূর্ণাঙ্গ পাঠ”.
এরপর তিনি পড়েন জাঁ লুই বুর্শালের বই - An Elementary Treaties on the differential and Integral calculus. সউরি তাঁর বইতে লাইবনিজের অনুকলন পদ্ধতির উপস্থাপনা করেন। বুর্শালের কাজে ডি-আলেম্বার্ট ও ল্যাগ্রাঞ্জের সংমিশ্রণ দেখতে পাওয়া যায়। এছাড়াও মার্ক্স অয়লার এবং ম্যাক্লরিন, ল্যাক্রোই, জন হাইন্ড, হল, জর্জ হেমিং ইত্যাদির কাজের সঙ্গে সুপরিচিত ছিলেন।
উদ্ভুত ফাংশন বা derived function সংক্রান্ত মার্ক্সের পাণ্ডুলিপি শুরু হচ্ছে একটি সরল অপেক্ষক দিয়ে। y=ax. এখন যদি x বৃদ্ধি পেয়ে x₁ হয়, তবে y₁=ax₁ হবে। এবং y₁-y = a (x₁-x). এখন যদি এদের ওপর অবকলন প্রক্রিয়া চালানো যায় তাহলে সেক্ষেত্রে ধরা যাক x₁ কমে গিয়ে হোল x যেখানে x₁=x; x₁-x=0; ফলে a(x₁-x)=0. অপর পক্ষে y কমে গিয়ে হোল y₁. যেহেতু x হয়ে গেছে x₁. ফলে y₁=y এবং y₁-y=0. অর্থাৎ y₁-y = a(x₁-x); 0=0.
 

“প্রথমে অবকলন করে তারপর সেটিকে বাদ দিলে কিছুই থাকে না। অবকলন প্রক্রিয়াটির সমস্ত সমস্যাটি গিয়ে দাঁড়িয়ে আছে সহজ সরল পদ্ধতি এবং তাকে অবলোকন করবার প্রক্রিয়ার ওপর যা আমাদের পৌঁছে দেয় সত্যে”।
মার্ক্স তারপর y₁-y=a(x₁-x) এই সমীকরণের উভয়দিকে x₁-x দিয়ে ভাগ করে। সমীকরণটি দাঁড়ায় y₁-y/x₁-x=a. এরপর তিনি মন্তব্য করলেন, “যেহেতু a হোল ধ্রুবক, ফলে সেটি অপরিবর্তনশীল। ফলে সমীকরণের ডানদিকেও সেটি আর কমে না। এই অবস্থায় অবকলনটি ঘটে সমীকরণের বাঁদিকে।  y₁-y/x₁-x or ∆y / ∆x. এবং এটি হোল ax এর মতো একটি সরল অপেক্ষকের চরিত্র।
 

এবার মজা শুরু হয়। এখন যদি ওপরের অপেক্ষকের হরের মান x₁ থেকে কমতে কমতে x এর দিকে যেতে থাকে তবে সীমার(Limit) সূত্রানুযায়ী মান হয় x₁-x=x-x=0। ওপর দিকে y₁-y=y-y=0. এখন যদি তাই হয় তবে আমরা পাব 0=a.
 

“যেহেতু 0/0 এই অভিব্যাক্তিতে তার মূল উৎস এবং অর্থের রূপটি লুকিয়ে রয়েছে, তাই তার জায়গায় আমরা লিখছি dy/dx. অর্থাৎ dy/dx=a.
“কিছু গণিতবিদ এক্ষেত্রে সান্ত্বনা হিসেবে যুক্তি দেন যে যেহেতু dy/dx সীমাহীনভাবে ক্ষুদ্র, সেহেতু 0/0 ব্যাপারটাকে নগন্য বা বাদ দিয়ে দেওয়া যেতে পারে”।
  
এক্ষেত্রে দুটি জিনিশ আমরা খুঁজে পাই। প্রথমটি হোল অনুকলনের অনুপাত হিসেবে অবকলনের উপস্থাপনা। অপরটি তিনি মনে করতেন যে তিনি একটি দ্বন্দ্বমূলক প্রক্রিয়ার বিশ্লেষণ করছেন। বিশেষ করে যা ছিল নেতির নেতি পদ্ধতির অনুসারী।
এদিকে ইয়ানোভস্কায়া ভিন্ন মত ব্যাক্ত করলেন। অনুকলনের দ্বন্দ্বমূলক ব্যাখ্যার ক্ষেত্রে একই সঙ্গে বৈপরীত্যের উপস্থিতিকে বললেন মিথ্যে। এই প্রসঙ্গে তিনি বললেন যে, কোনও কোনও মার্ক্সবাদী অনুকলনকে দ্বন্দ্বমূলকভাবে দেখতে অভ্যস্ত। কিন্তু তারা এটা ভুলে গেছেন যে দ্বন্দ্বমূলক বস্তুবাদ কখনো ধ্রুবক হয় না বা সেইরকম ধ্রুব কিছুকে চিহ্নিত করে না। 
এখন আমরা দেখব লাইবনিজের অনুকলন তত্ত্বের কোন বিষয়টি মার্ক্স সমালোচনা করেছেন।  
 

 

ধরা যাক একটি অপেক্ষক y=x²;
এখানে x₁=x+∆x পরিবর্তিত হয়ে হোল x₁=x+dx

• y+dy=(x+dx)²
• y+dy=x²+2xdx+dx²
• dy=2xdx+dx² (উভয়দিক থেকে y & x² বাদ দিয়ে পাই)

এখন দেখা যাবে উপরের সমীকরণের সবচেয়ে ডানদিকের dx²টিকে চেপে বা হাওয়া করে দেওয়া হোল। এবং পড়ে থাকা সমীকরণটি হোল
dy/dx=2x;
 

 

এখন প্রশ্ন হোল এইভাবে কী করে একটি পদকে হাওয়া করে দেওয়া যায়। তাহলে যিনি এটি হাওয়া করেছেন তিনি নিজে জানেন যে এই পদটি অপেক্ষকের অংশ নয়। মার্ক্স এই রহস্যময় ভোজবাজির দ্ব্যর্থহীন ভাষায় সমালোচনা করেছেন। তিনি এটিকে বলেছেন “হাতের কারসাজি”।  
এবারে আমরা দেখব ঠিক কীভাবে ডি অ্যালেম্বার্ট এই বিষয়টিকে দূরীভূত করেছেন। মার্ক্স লিখেছেন যে ডি অ্যালেম্বার্ট সরাসরি নিউটন ও লাইবনিজের প্রস্থান বিন্দু থেকে তার কাজ শুরু করেছেন। x₁=x+dx এর জায়গায় তিনি লিখলেন x₁=x+∆x
এখানে ∆x হোল প্রাথমিকভাবে একটি সসীম বৃদ্ধি যাকে নির্ণয় করা যায় না। তিনি এই ∆x কে বললেন h. ∆x এবং h এর dx এ পরিবর্তন ঘটেছে একদম শেষ মুহূর্তে। কিন্তু অতীন্দ্রিয়বাদীরা এই পরিবর্তন করে দিয়েছিলেন দুম করে এবং প্রথমেই। মার্ক্স নিম্নলিখিত অপেক্ষকের সাহায্যে এই বিষয়টিকে প্রাঞ্জল করে দেখালেনঃ-
Suppose f(x) =x³  

• [f(x+h)-f(x)]/h=3x²+3xh+h².
• dy/dx=3x²  [উভয়দিকে h=0 বসিয়ে পাই]

এক্ষেত্রে 3xh+h² অংশটি  যে উধাও হয়ে যায় সেটি ন্যায্য। এক্ষেত্রে কোনও কারসাজির আশ্রয় নেওয়া হয় নি। লাইবনিজের সুত্রের এটি হোল উন্নতি। বলা বাহুল্য, যে এখানে h এর প্রথম ঘাতের সহগ হিসেবে অপেক্ষকটির আত্মপ্রকাশ ঘটেছে। অর্থাৎ নিউটন বা লাইবনিজের সঙ্গে অপেক্ষকটির মিল থাকলেও, নতুনটি তার আগের আত্মীয়ের থেকে বীজগাণিতিক ভাবে আলাদা।
এখন আমরা দেখব মার্ক্স কীভাবে অন্তরকলন প্রক্রিয়াকে দ্বন্দ্বের সঙ্গে মেলালেন বা নেতির নেতি পদ্ধতির সঙ্গে সঙ্গতিপূর্ণ করে তুললেন।

প্রথমত, তিনি চলরাশিকে একটি সত্যিকারের চলরাশির মতোই দেখলেন। ফলে x এর সঙ্গে h বা ∆x যোগ করার বদলে তিনি x কে x₁ বৃদ্ধি করার পক্ষপাতী ছিলেন।   
ডি আলেম্বার্ট এবং তার নিজের বীজগাণিতিক পদ্ধতির পার্থক্য নির্দেশনার জন্য তিনি নিম্নলিখিত অপেক্ষকটি ব্যবহার করলেন।
f(x) অথবা u=x³ + ax²   
Now, f(x₁)-f(x)=u₁-u=x₁³+ax₁²-(x³+ax²)
 

এখানে মুখ্য অপেক্ষকটি বাদ দেওয়ার কোনও প্রশ্নই নেই। বরঞ্চ প্রথম অবকলন অপেক্ষকটি থেকে আমরা প্রথম পরিবর্তনের একটা চেহারা পাই। এটি প্রথম নেতি যেখানে x কে বাদ দিয়ে x₁ করা হয়।              
[f(x₁)-f(x)] / (x₁-x)=(u₁ -u) / (x₁-x)= x₁²+x₁x+x² + a(x₁+x)
 

এই ভাগের ফলে আমরা প্রাথমিক অপেক্ষকটি পাই। এইবার x₁=x বসিয়ে আমরা সমীকরণের ডানদিকে পাই 3x²+2ax এবং বামদিকে পাই ০/০। এটিই হোল দ্বিতীয় নেতি বা নেতির নেতি। এইভাবে আমরা উপনীত হই একটা নতুন অপেক্ষকে। যেখানে আমরা f¹(x)= 3x²+2ax.
 

 

এঙ্গেলস তার Anti Duhring এ লেখেন, “উচ্চতর ব্যাখ্যার ক্ষেত্রে নেতির নেতি পদ্ধতি বিস্ময়করভাবে সফল। বিশেষ করে সীমাহীনভাবে ক্ষুদ্র রাশির যোগফল হিশেবে, যাকে ডুরিং নিজে গণিতবিদ্যার সবচেয়ে উচ্চ পর্যায়ের প্রক্রিয়া বলে ব্যক্ত করেছিলেন, যা সাধারণভাবে অবকলন ও সমাকলন নামে পরিচিত। এই দুই ধরণের কলনের ব্যবহার প্রসঙ্গে তিনি বলেন, “মনে করুন কোনও একটি প্রদেয় সমস্যায় দুটি চলরাশির মান x এবং y. একজনের পরিবর্তন ছাড়া অপরটি পরিবর্তিত হতে পারে না। তারা এই শর্তে সম্পর্কিত। এবার আমি তাদের এমন ক্ষুদ্র মান নিয়ে অবকলিত করলাম যারা যত ছোটই হোক, তাদের পরম মানের সাপেক্ষে অদৃশ্য হয়ে যায়। ফলে x এবং y না পরে থেকে পরে থাকল তাদের ক্ষুদ্রতম মানের অনুপাত। ফলে y/x এর তুলনায় dy/dx এর মান ০/০ হয়ে যায়”।
 

 

তিনি আরও বলেন, “এই অদৃশ্য হয়ে যাওয়া মানেরা তাদের অদৃশ্য হওয়াকালীন সময়ে ধরা দেয়; এও এক বৈপরীত্য। গণিতের বিশ্বে প্রায় ২০০ বছর ধরে এটি আমাদের অসুবিধায় ফেলেছিল। এর হাত থেকে মুক্তি মিলল এবারে। যদিও আমরা কী করলাম? শুধু মাত্র x এবং y এর জায়গায় তাদের নেতি dy/dx-কে ফর্মুলার সমীকরণে পেলাম। এরপর আমি dy/dx নিয়েই প্রক্রিয়া চালু রাখলাম, যেখানে dy এবং dxকে বাস্তব মান হিশেবে পরিগণিত করলাম। যদিও এরও কিছু ব্যাতিক্রম আছে। তবে এক বিশেষ অবস্থায় আমি এই নেতিকে আবার নেতি করলাম। অর্থাৎ আমি অবকলিত সুত্রকে সমাকলন করলাম এবং x এবং y ফেরত পেলাম। যদিও আগের x এবং y এর সঙ্গে ফেরত পাওয়া x এবং y এর মিল নেই। কিন্তু এই প্রক্রিয়া ব্যাবহার করে আমরা এমন একটা সমস্যার সমাধান করে ফেললাম, যা করতে সাধারণ জ্যামিতি এবং বীজগণিতের দাঁত ভেঙে যাচ্ছিল”।
 

এইভাবে এঙ্গেলস যখন সীমাহীন ক্ষুদ্রের অনুপাত হিসেবে dy/dx কে মেনে নিয়েছিল, তখন মার্ক্সের ক্ষেত্রে সেটা সম্পূর্ণতা পেয়েছিল যখন ∆x এবং ∆y এর মান হয়ে দাঁড়ালো শূন্য।
সম্ভবত নিউটনের “অদৃশ্য হওয়া ভুতুড়ে মানের” বৈপরীত্যতায় বার্ক্লের সন্মতি প্রদান মার্ক্সকে অবাক করেছিল। স্যামুয়েল বাটলার লিখিত এক ছদ্ম প্রেমপদ্যকে, যার নাম ছিল হুডিব্রাস, মার্ক্স নিশ্চিতভাবে তারিফ করতেন যেখান থেকে বার্ক্লে ধার করে তার উধৃতিটি দিয়েছিল, “সে সমস্ত কিছুকে অভিনয়ে প্রকাশ করতে পারত/ অরূপত্ব দ্বারা জানতে পারত তাদের প্রকৃতি / যেখানে সত্তা এবং তার প্রকৃত চরিত্র/ আসলে এক ভুতুড়ে অসাড় শরীরের মাছি   ”। (He could reduce all things to acts/ and knew their natures by abstracts,/ where entity and quiddity /  the ghosts of defunct bodies fly”.                      
  
কিন্তু মার্ক্স যখন সব কিছু গলদ ফাঁস করে দিল, এঙ্গেলস তৎক্ষণাৎ তখন তার মতামতে সায় দিল।
 

১৮ অগস্ট ১৮৮১ সালে লেখা তার চিঠিতে তিনি ব্যাক্ত করলেন, “y=f(x) এই অপেক্ষকে x এবং y চলরাশি। কিন্তু যতক্ষণ পর্যন্ত আমরা কলন করছি না, ততক্ষণ সমস্ত রকম পরিণতির বাইরে গিয়ে একটি যুক্তি দেওয়া যায় যে কলনের আগে আসলে x এবং y হোল নেহাতই ধ্রুবক। এবং অপেক্ষকের মধ্যে যখন তারা পরিবর্তিত হয়, তখনই তাদের চলরাশি বলা যায়। তখনই তাদের চলনের ভিতরে সম্পর্ক টানা সম্ভব, যা আদত সুত্রে অধরা থেকে যায়। ফলে অপেক্ষকে x যখন x₁ এ পরিবর্তিত হয়, x₁ আবার তেমনভাবে x এ পরিবর্তিত হয়।
কিন্তু এই নতুন x, আগের x এর মতো হয় না। সে তখন অন্য। তার রূপ তখন আলাদা, যা খুব সম্ভবত, অদ্ভুতভাবে সমর্থন করে কুর্ট গোয়েডেলের “Theory Of Incompleteness” এর একটি উপপাদ্যকে।     
 

তিনি আরও লেখেন, “ যা একদিন অনেক গণিতবিদ দাবি করে আসছিল, আমরা এবার সেটি স্পষ্ট দেখতে পেলাম। দেখতে পেলাম অবকলনের সহগেরাই আসল, খোদ অবকলনটি হোল প্রাপ্ত। “অন ডিফারেন্সিয়ালে” লিখিত মার্ক্সের প্রবন্ধের সঙ্গে উপরোক্ত বাক্যগুলির মিল দেখতে পাওয়া যায়। তিনি লেখেন ০/০ তে লবকে হরের থেকে আলাদা করা যায় না। কারণ একমাত্র জোড় অবস্থাতেই সে সঠিক সম্পর্কটি প্রকাশ করতে পারে। এক্ষেত্রে অনুপাতটি     
   ( y₁-y)/(x₁-x) =[f(x₁)-f(x)] / (x₁-x)
 

যখন তার ক্ষুদ্রতম রূপে পৌঁছয়, যেখানে লবের মান গিয়ে দাঁড়ায় ০, কারণ হরের মানও ০। যদিও আলাদা করে তাদের নিজস্ব মানও ০। কিন্তু আলাদা হয়ে গেলে তাদের অন্তর্নিহিত অর্থটি যায় হারিয়ে। অর্থাৎ dy বা dx তাদের নিজরূপে অর্থপূর্ণ হয়ে ওঠে dy/dx চিহ্নের দ্বারা। কিন্তু মার্ক্সকে এটা মেনে নিতে হয়েছে যে ব্যবহারিক দিক থেকে অন্তরকলনকে কাজে লাগানো হয় প্রাপ্ত মান পাওয়ার গণনার জন্য। তিনি বলেন, “ যে মুহূর্তে অবকলনকে প্রস্থান বিন্দু হিসেবে ধরে গণনা সম্পূর্ণ করা হয়, যা কীনা বীজগাণিতিক অবকলনের উল্টো পদ্ধতি, তখনই তাকে দেখতে মনে হয় আলাদা একটি উপায়, যা যেন বিশেষভাবে চলরাশির হিসেব নিকেশের জন্যই”।      
 

 

কিন্তু এই চলরাশি জিনিসটি ঠিক কী? গণিতে “চলরাশি” বলতে কী বোঝায়? বিখ্যাত ইংরেজ দার্শনিক বারট্রান্ড রাসেলের মতে “যে ধারণাগুলির মানে বোঝা সবচেয়ে কঠিন – এটি- অবশ্যই- তাদের মধ্যে একটি”। আর গণিতবিদ কার্ল মেঙ্গার এই ধারণার অন্তত পক্ষে ৬টি একেবারে আলাদা আলাদা অর্থের উল্লেখ করেছেন।
চলরাশির বা অন্যকথায় অপেক্ষকের ধারণার ব্যাখ্যায় মার্ক্স সোজাসুজি অপেক্ষকের ধারণার ভিন্ন ভিন্ন অর্থের – “x-এর” অপেক্ষকের এবং “x-স্থ” অপেক্ষকের প্রশ্নটি উত্থাপন করেছেন। গণিতে চলরাশির উপস্থাপনা ঠিক কীভাবে করা উচিৎ এবং এই পরিবর্তনের দ্বান্দ্বিকতা কোথায় নিহিত – তা তিনি বিশেষ গুরুত্ব সহকারে আলোচনা করেন এমন একটা সময়ে যখন নিউটনের “মুলনীতি”-র সংশ্লেষণ মূলক পদ্ধতি ও প্রতীকগুলিকে এক ধরণের পবিত্র ও অলঙ্ঘনীয় অন্ধবিশ্বাসের বিষয়ে পর্যবসিত করেছিল।
চলরাশির ক্ষেত্রে মার্ক্সের বক্তব্যের দুটি দৃষ্টিভঙ্গির কথা উল্লেখ করেন ডি জে স্ট্রুইক। তিনি বলেন, “প্রক্রিয়াগত চরিত্র এবং মূলগত বীজগণিত থেকে অবকলন প্রস্ফুটনের সঠিক মুহূর্ত নির্ধারণের ক্ষেত্রে মার্ক্সের তত্ত্বটি একটি নতুন মতবাদের জন্ম দেয়”। কে এ রিবনিকভ বলেন, “ মার্ক্সের প্রকাশিত পাণ্ডুলিপির থেকে ভি আই গ্লিভেঙ্কো দেখিয়েছেন যে মার্ক্সই হলেন প্রথম ব্যাক্তি, যিনি অবকলনের প্রক্রিয়াগত চরিত্রের কথা উল্লেখ করেছেন”। পরবর্তী কালে ফ্রেক্ট এই চরিত্রটিকে এগিয়ে নিয়ে তার বিখ্যাত ফাংশনাল অ্যানালাইসিস তত্ত্বে ব্যবহার করেছেন।
দ্বিতীয় যে ধারণার কথা স্টুইক বলেন সেটি হোল “বীজগাণিতিক অবকলনের উল্টো পদ্ধতি”।
ধরা যাক y=x³
উপরোক্ত অপেক্ষকের অবকলন করবার জন্য x কে বৃদ্ধি করে x₁ করা হোল, এবং y কে বৃদ্ধি করে করা হোল y₁. এখন আমরা লিখতে পারিঃ-
        y₁-y = x₁³-x³     

• (y₁-y) / (x₁-x) = x₁²+x₁x+x² [উভয়দিককে (x₁-x) দিয়ে ভাগ করে পাই]   
• dy/dx= 3x²  [x₁ কে তার নূন্যতম মান x এ নিয়ে গিয়ে পাই]

ফলে উপরোক্ত সমীকরণের বামদিকের পদটি প্রতীকী এবং ডানদিকেরটি প্রক্রিয়াগত। অর্থাৎ মার্ক্স একই সমীকরণের দুটি রূপ তুলে ধরেন এবং নতুন ও পুরাতনের মধ্যে সামঞ্জস্য বিধান করেন। এই “বীজগাণিতিক অবকলনের উল্টো পদ্ধতি” টি ধরা পড়ে মার্ক্সের প্রাথমিক সুত্রে যা দিয়ে আমরা এই আলোচনা শুরু করেছিলাম। y=ax সমীকরণের মাধ্যমে।
যদিও মার্ক্স দ্বারা অবকলন ও তার প্রাপ্ত পরমমানের বিশ্লেষিত তথ্য গণিতের ঐতিহাসিক সমৃদ্ধির উপর তৎক্ষণাৎ কোনো সরাসরি প্রভাব বিস্তার করতে পারেনি, কিন্তু এঙ্গেলস এই স্বাধীন আবিস্কারের শিরোপা দিয়েছেন মার্ক্সকে। কারণ মার্ক্সকৃত অবকলের প্রক্রিয়াগত পদ্ধতির স্বীকৃতি লাভ করে উনবিংশ শতাব্দীর গনিতবিদদের দ্বারা, যেখানে তার পদ্ধতি ঋদ্ধ করে গণিতের শাখাকে। এছাড়াও মার্ক্সের অন্তরদৃষ্টি দিয়ে ধরা পড়া তত্ত্ব যা কোনও রাশির বৃদ্ধির অংশ হিসেবে ক্যালকুলাসের ব্যবহারকে স্বীকৃতি প্রদান করে, আজ জায়গা করে নিয়েছে পাঠ্য পুস্তকে।
গতকাল এই মহান প্রতিভার ছিল জন্মদিন। এবং মনে করছি তিনি সতত আমাদের অন্তরে বিরাজমান থাকবেন।            
    
বিঃদ্রঃ  গণিত বা লজিক আমার চর্চার বিষয় কোনদিনই ছিল না; তবে গণিতের ইতিহাস আমাকে এখনও টানে। আর চারপাঁচটা গল্প, উপন্যাস বা প্রবন্ধের বই পড়তে পড়তে প্রদীপবাবুর বইটিও একসময় পড়বার উৎসাহ জন্মেছিল। তবে একসময় শুধুমাত্র জানবার জন্য দর্শন পড়তে গিয়ে কাউকে কাউকে পাশ্চাত্য দর্শন এবং তার লজিকের চ্যাপ্টারগুলো (একাদশ ও দ্বাদশ শ্রেণি) পড়িয়েছিলাম। এখন ভাবলে যেন কেমন কেমন লাগে!   
 

ঋণঃ
 

১) মার্ক্সের ম্যাথেমেটিক্যাল ম্যানুস্ক্রিপ্ট – প্রদীপ বক্সী।
২) সোফিয়া আলেকসান্দ্রেভ্‌না ইয়ানোভ্‌স্কায়ার রচনা