এই সাইটটি বার পঠিত
ভাটিয়ালি | টইপত্তর | বুলবুলভাজা | হরিদাস পাল | খেরোর খাতা | বই
  • খেরোর খাতা

  • বুলিয়ান বীজগণিতের বিখ্যাত ধাঁধা  লিলি আর মিমির যুক্তির আসর 

    albert banerjee লেখকের গ্রাহক হোন
    ২০ ফেব্রুয়ারি ২০২৬ | ৪৬ বার পঠিত
  • 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13
     

    বুলিয়ান বীজগণিতের ১০টা অধ্যায় শেষ করে লিলি আর মিমি এখন ওস্তাদ হয়ে গেছে। তারা ঠিক করল, তাদের বন্ধুদের নিয়ে একটা যুক্তির আসর বসাবে। সেখানে তারা বুলিয়ান বীজগণিত ব্যবহার করে কিছু বিখ্যাত ধাঁধা সমাধান করবে।

    নিচে ১৫টা ধাঁধা দেওয়া হলো। প্রথমে ধাঁধাগুলো পড়ো, নিজে চেষ্টা করো। তারপর উত্তর অংশে সমাধান দেখো।

     ধাঁধা ১: সত্যবাদী আর মিথ্যাবাদী

    এক দ্বীপে দুই ধরনের মানুষ থাকে — সত্যবাদী (যারা সবসময় সত্য কথা বলে) আর মিথ্যাবাদী (যারা সবসময় মিথ্যা কথা বলে)। তুমি তিনজন মানুষকে দেখতে পেলে — আলী, বাবর, চম্পা।

    আলী বলল, "বাবর মিথ্যাবাদী।"
    বাবর বলল, "চম্পা মিথ্যাবাদী।"
    চম্পা বলল, "আলী মিথ্যাবাদী।"

    কে সত্যবাদী আর কে মিথ্যাবাদী?

     ধাঁধা ২: দুর্গের দরজা

    তুমি একটা দুর্গের সামনে দাঁড়িয়ে। দুটো দরজা — একটা স্বর্গের দিকে যায়, আরেকটা নরকের দিকে। দুটো পাহারাদার — একজন সবসময় সত্য বলে, আরেকজন সবসময় মিথ্যা বলে। তুমি একটা মাত্র প্রশ্ন করতে পারো, একজন পাহারাদারকে। কী প্রশ্ন করলে স্বর্গের দরজা চিনতে পারবে?

     ধাঁধা ৩: তিনটা সুইচ আর একটা বাল্ব

    তুমি একটা ঘরের বাইরে। ঘরের ভেতরে একটা বাল্ব আছে। বাইরে তিনটা সুইচ — ১, ২, ৩। একটা মাত্র সুইচ বাল্ব জ্বালায়। তুমি একবার মাত্র ঘরে ঢুকতে পারো, আর তখনই বুঝতে হবে কোন সুইচটা বাল্ব জ্বালায়। কী করবে?

     ধাঁধা ৪: লজিক গেটের ধাঁধা

    তোমার কাছে তিনটা লজিক গেট আছে — একটা AND, একটা OR, আর একটা XOR। তুমি জানো না কোনটা কোন গেট। তুমি ইনপুট হিসেবে ০ আর ১ দিতে পারো, আর আউটপুট দেখতে পারো। কয়টা পরীক্ষায় তুমি নিশ্চিত হতে পারবে কোন গেটটা কোনটা?

     ধাঁধা ৫: ট্রাফিক লাইট কন্ট্রোল

    একটা মোড়ে তিনটা ট্রাফিক লাইট আছে — লাল, হলুদ, সবুজ। এরা একটা নিয়ম মেনে চলে:
    - সবুজ জ্বললে লাল জ্বলে না
    - লাল জ্বললে হলুদ জ্বলে না
    - হলুদ জ্বললে সবুজ জ্বলে না
    - সবসময় অন্তত একটা লাইট জ্বলে

    বুলিয়ান এক্সপ্রেশন বের করো যা এই সিস্টেমকে বর্ণনা করে।

     ধাঁধা ৬: নির্বাচনের ধাঁধা

    একটা নির্বাচনে তিনজন প্রার্থী — X, Y, Z। প্রত্যেক প্রার্থী সম্পর্কে একটা করে বিবৃতি দেওয়া হলো:
    ১. "X জিতবে না অথবা Y জিতবে না।"
    ২. "Y জিতবে না অথবা Z জিতবে না।"
    ৩. "Z জিতবে না অথবা X জিতবে না।"

    যদি সবগুলো বিবৃতি সত্যি হয়, তাহলে কে জিতবে?

     ধাঁধা ৭: মুদ্রার ধাঁধা

    তোমার কাছে ৮টা মুদ্রা আছে। একটা মুদ্রা অন্যগুলোর চেয়ে হালকা। তোমার কাছে একটা তুলাযন্ত্র আছে যা দুই পাশ তুলনা করতে পারে। মাত্র দুইবার ওজন করে হালকা মুদ্রাটা বের করতে হবে। বুলিয়ান বীজগণিত ব্যবহার করে কৌশলটা বর্ণনা করো।

     ধাঁধা ৮: স্মিথ আর জোন্স

    স্মিথ বলল, "জোন্স মিথ্যাবাদী।"
    জোন্স বলল, "ব্রাউন মিথ্যাবাদী।"
    ব্রাউন বলল, "স্মিথ মিথ্যাবাদী।"

    যদি একজন মাত্র সত্যবাদী হয়, তাহলে কে সত্যবাদী?

     ধাঁধা ৯: চার্জার আর ব্যাটারি

    তোমার কাছে একটা চার্জার আর একটা ব্যাটারি আছে। চার্জার কাজ করে যদি (বিদ্যুৎ থাকে) AND (চার্জার ঠিক থাকে)। ব্যাটারি চার্জ হয় যদি (চার্জার কাজ করে) OR (সৌর প্যানেল কাজ করে)। তুমি জানো যে ব্যাটারি চার্জ হচ্ছে। কিন্তু বিদ্যুৎ নেই। সৌর প্যানেল কাজ করছে কি না জানো না। চার্জার ঠিক আছে কি না জানো না। বুলিয়ান বীজগণিত ব্যবহার করে প্রমাণ করো যে চার্জার ঠিক আছে।

     ধাঁধা ১০: ডিজিটাল লকের ধাঁধা

    একটা ডিজিটাল লকে তিনটা সুইচ — A, B, C। লক খোলে যখন (A আর B একই থাকে) অথবা (B আর C একই থাকে) অথবা (C আর A একই থাকে)। কিন্তু তুমি জানো যে লক খুলছে না। A আর B-এর মান কী?

     ধাঁধা ১১: তিন বন্ধুর বয়স

    তিন বন্ধু — রাজু, সাজু, কাজু। তাদের মধ্যে একজন সবসময় সত্য বলে, একজন সবসময় মিথ্যা বলে, আর একজন মাঝে মাঝে সত্য বলে (অর্থাৎ তার কথা নির্ভরযোগ্য না)। তারা বলল:
    রাজু: "আমি সত্যবাদী।"
    সাজু: "কাজু মাঝে মাঝে সত্য বলে।"
    কাজু: "সাজু মিথ্যাবাদী।"

    কে কী?

     ধাঁধা ১২: রহস্যময় দ্বীপ

    এক দ্বীপে তিন ধরনের মানুষ — সত্যবাদী (সবসময় সত্য), মিথ্যাবাদী (সবসময় মিথ্যা), আর এলোমেলো (কখনও সত্য কখনও মিথ্যা)। তুমি তিনজন লোক দেখলে — P, Q, R। তারা বলল:
    P: "Q এলোমেলো।"
    Q: "R এলোমেলো।"
    R: "P এলোমেলো।"

    এদের মধ্যে কে কী?

     ধাঁধা ১৩: কম্বিনেশন লকের ধাঁধা

    একটা কম্বিনেশন লকে ৪টা সুইচ — ১, ২, ৩, ৪। লক খোলে যদি (১ অন আর ২ অন) অথবা (২ অন আর ৩ অন) অথবা (৩ অন আর ৪ অন) অথবা (৪ অন আর ১ অন) হয়। কিন্তু লক খুলছে না। কোন সুইচগুলো অন থাকতে পারে?

     ধাঁধা ১৪: তিন পাহারাদার

    তিন পাহারাদার — X, Y, Z। একজন সবসময় সত্য বলে, একজন সবসময় মিথ্যা বলে, আর একজন এলোমেলো। তুমি দুটো প্রশ্ন করতে পারো, যে কাউকে। কীভাবে বের করবে কে সত্যবাদী?

     ধাঁধা ১৫: বুলিয়ান এক্সপ্রেশন ম্যাচিং

    নিচের তিনটা বুলিয়ান এক্সপ্রেশন দেওয়া আছে:
    F1 = A·B + A·C + B·C
    F2 = (A+B)·(A+C)·(B+C)
    F3 = A⊕B⊕C

    একটা নির্দিষ্ট ইনপুটের জন্য (A=1, B=1, C=0) এদের মান বের করো। কোন দুটো সমান?

     উত্তর অংশ

     উত্তর ১: সত্যবাদী আর মিথ্যাবাদী

    ধরি, A = আলী সত্যবাদী (1) বা মিথ্যাবাদী (0)
    B = বাবর সত্যবাদী
    C = চম্পা সত্যবাদী

    আলীর কথা: "বাবর মিথ্যাবাদী" → মানে B' সত্যি। আলী সত্যবাদী হলে B' = 1, মানে B=0। আলী মিথ্যাবাদী হলে তার কথা মিথ্যা, মানে B' = 0, অর্থাৎ B=1।

    সুতরাং: A = B'  (কারণ A সত্যবাদী মানে B' সত্যি, আর A মিথ্যাবাদী মানে B' মিথ্যা → A' = B)

    একইভাবে: B = C'  (বাবর বলে চম্পা মিথ্যাবাদী)
    এবং C = A'  (চম্পা বলে আলী মিথ্যাবাদী)

    এখন এই তিনটা সমীকরণ:
    A = B'
    B = C'
    C = A'

    এদের সমাধান করি। A = B' = (C')' = C = (A')' = A — এটা সবসময় সত্যি। আসলে এগুলো সাইক্লিক। ট্রুথ টেবিল বের করি:

    A=0 হলে B=1, C=0, তারপর C=0 হলে A=1 — মিলল না।
    A=1 হলে B=0, C=1, তারপর C=1 হলে A=0 — মিলল না।

    কিন্তু আমরা দেখি, A=0, B=1, C=0 দিলে B=1, C'=0, C=0, A'=1 — মিলল না। আসলে এখানে কোনো সমাধান নেই? একটু অন্য ভাবে দেখি।

    আমরা তিনটা সমীকরণ পাই: A = NOT B, B = NOT C, C = NOT A। এগুলো যোগ করলে A = NOT (NOT C) = C, আবার C = NOT A, তাই A = NOT A — অসম্ভব। তাই এই তিন বিবৃতি একসাথে সত্য হতে পারে না। কিন্তু ধাঁধায় তো বলা নেই সবগুলো বিবৃতি সত্যি — ওরা বলেছে, ওরা যা বলে তাই। আমাদের বের করতে হবে কোন অ্যাসাইনমেন্টে এই তিনটা বিবৃতি তাদের নিজ নিজ চরিত্র অনুযায়ী সত্যি বা মিথ্যা হয়।

    আমরা জানি, প্রত্যেকের বিবৃতি তাদের চরিত্র অনুযায়ী মূল্যায়ন করতে হবে। অর্থাৎ:

    আলীর বিবৃতি (B') সত্যি হবে যদি A=1, আর মিথ্যা হবে যদি A=0।
    তাই: A → B'  (A সত্যবাদী মানে B' সত্যি)
    এবং A' → B  (A মিথ্যাবাদী মানে B' মিথ্যা, মানে B সত্যি)

    এটাকে লেখা যায়: A = B'  (কারণ A=1 হলে B'=1, A=0 হলে B=1, অর্থাৎ A=1-B)

    একইভাবে: B = C', C = A'

    এখন A = B' = (C')' = C, কিন্তু C = A', তাই A = A' → অসম্ভব। তাই কোনো সমাধান নেই? তাহলে ধাঁধাটা অমীমাংসিত? না, বরং এটা বোঝায় যে এমন কোনো সম্ভাবনা নেই। কিন্তু ধাঁধায় তো একটা উত্তর থাকবেই। আসলে এখানে আমরা ভুল করছি — A, B, C যদি সত্যবাদী/মিথ্যাবাদী হয়, তাহলে তাদের বিবৃতি সেই অনুযায়ী মূল্যায়ন করতে হবে। আমরা তিনটা শর্ত পাই:

    1. (A ∧ (¬B)) ∨ (¬A ∧ B) = 1  (অর্থাৎ A আর B পরস্পরের উল্টো)
    2. (B ∧ (¬C)) ∨ (¬B ∧ C) = 1
    3. (C ∧ (¬A)) ∨ (¬C ∧ A) = 1

    এটা XOR: A XOR B = 1, B XOR C = 1, C XOR A = 1।

    A XOR B = 1 মানে A ≠ B
    B XOR C = 1 মানে B ≠ C
    C XOR A = 1 মানে C ≠ A

    একসাথে এটা সম্ভব? যদি A ≠ B এবং B ≠ C, তাহলে A = C (কারণ A আর C দুটোই B-এর বিপরীত)। কিন্তু C ≠ A হতে হবে। তাই অসম্ভব। সুতরাং এই তিন বিবৃতি একসাথে কোনো সম্ভাব্য বিশ্বে সত্যি হতে পারে না। ধাঁধাটা হয়তো এরকম — যদি একজন মাত্র সত্যবাদী হয়, তাহলে কী হয়? সেটা অন্য ধাঁধা। এটা বোঝায়, বুলিয়ান বীজগণিত দিয়ে অসম্ভব অবস্থাও চিহ্নিত করা যায়।

    তবে এই ধাঁধার প্রচলিত উত্তর হলো — এটা একটা প্যারাডক্স। কোনো সমাধান নেই।

     উত্তর ২: দুর্গের দরজা

    এই ধাঁধার ক্লাসিক সমাধান হলো — যেকোনো একজন পাহারাদারকে জিজ্ঞেস করো: "যদি আমি অপর পাহারাদারকে জিজ্ঞেস করি কোন দরজাটা স্বর্গের দিকে যায়, সে কোন দরজাটা দেখাবে?"

    তারপর সেই দরজাটার উল্টো দরজায় ঢুকবে। কারণ:
    - যদি প্রশ্ন করা পাহারাদার সত্যবাদী হয়, তাহলে সে জানবে মিথ্যাবাদী মিথ্যা দরজা দেখাবে। তাই সে সেই দরজাটার নাম বলবে যা মিথ্যাবাদী দেখাবে — সেটা ভুল দরজা।
    - যদি প্রশ্ন করা পাহারাদার মিথ্যাবাদী হয়, তাহলে সে মিথ্যা বলবে। সত্যবাদী সঠিক দরজা দেখাবে, কিন্তু মিথ্যাবাদী তার উল্টোটা বলবে। তাই সেও ভুল দরজার নাম বলবে।

    দুটো ক্ষেত্রেই ওই পাহারাদার ভুল দরজার নাম বলবে। তাই তার দেখানো দরজার উল্টোটা হবে সঠিক দরজা।

    বুলিয়ান এক্সপ্রেশন:
    ধরি, S = সত্যবাদী পাহারাদার, M = মিথ্যাবাদী পাহারাদার, R = সঠিক দরজা, W = ভুল দরজা।
    প্রশ্নটা ডিজাইন করা হয়েছে যেন উত্তর সবসময় W হয়।

     উত্তর ৩: তিনটা সুইচ আর একটা বাল্ব

    কৌশল:
    ১. প্রথম সুইচ অন করে ৫ মিনিট রাখো, তারপর অফ করো।
    ২. দ্বিতীয় সুইচ অন করে রাখো।
    ৩. তৃতীয় সুইচ স্পর্শ করো না।

    এখন ঘরে ঢুকে দেখো:
    - যদি বাল্ব জ্বলছে, তাহলে দ্বিতীয় সুইচ।
    - যদি বাল্ব জ্বলছে না কিন্তু গরম আছে, তাহলে প্রথম সুইচ।
    - যদি বাল্ব জ্বলছে না আর ঠাণ্ডা, তাহলে তৃতীয় সুইচ।

    বুলিয়ান লজিক: তিনটা সুইচের অবস্থা (অন/অফ) আর বাল্বের অবস্থা (জ্বলা/গরম/ঠাণ্ডা) — এখানে তিনটা সম্ভাবনা, কিন্তু আমরা একটা মাত্র ভেরিয়েবল দিয়ে দুটো অবস্থা পাই। তাই তাপমাত্রা ব্যবহার করে তৃতীয় অবস্থা তৈরি করেছি।

     উত্তর ৪: লজিক গেটের ধাঁধা

    আমরা জানি, AND গেটের আউটপুট 1 হয় শুধু যখন দুটো ইনপুট 1। OR গেটের আউটপুট 0 হয় শুধু যখন দুটো ইনপুট 0। XOR গেটের আউটপুট 1 হয় যখন ইনপুট ভিন্ন।

    পরীক্ষা:
    ১. প্রথমে তিনটা গেটেই (0,0) ইনপুট দিই। যে গেটের আউটপুট 1, সেটা OR নয় (কারণ OR-এ 0,0 = 0), AND নয় (AND-এ 0,0 = 0), তাই ওটা XOR? না, XOR-এও 0,0 = 0। আসলে (0,0) ইনপুটে সবগুলো গেটের আউটপুট 0। তাই কাজ হবে না।

    (1,1) ইনপুট দিই। AND = 1, OR = 1, XOR = 0। তাহলে যে গেটের আউটপুট 0, সেটা XOR। বাকি দুটো AND আর OR আলাদা করতে হবে।

    (1,0) ইনপুট দিই। AND = 0, OR = 1, XOR = 1। যে গেট আগে XOR চিহ্নিত করেছি, বাদ দিলে বাকি দুটোর মধ্যে (1,0) এ যে 1 দেয় সেটা OR, আর যে 0 দেয় সেটা AND।

    সুতরাং ২টা পরীক্ষায় ( (1,1) আর (1,0) ) সব চিহ্নিত করা যায়।

     উত্তর ৫: ট্রাফিক লাইট কন্ট্রোল

    ধরি, R = লাল জ্বলে, Y = হলুদ জ্বলে, G = সবুজ জ্বলে।

    শর্তগুলো:
    1. G → ¬R  (সবুজ জ্বললে লাল জ্বলে না)
    2. R → ¬Y  (লাল জ্বললে হলুদ জ্বলে না)
    3. Y → ¬G  (হলুদ জ্বললে সবুজ জ্বলে না)
    4. R ∨ Y ∨ G = 1  (অন্তত একটা জ্বলে)

    শর্ত 1,2,3 বলছে যে কোনো দুটো একসাথে জ্বলতে পারে না। অর্থাৎ R·Y = 0, Y·G = 0, G·R = 0।

    এক্সপ্রেশন: (R·Y = 0) ∧ (Y·G = 0) ∧ (G·R = 0) ∧ (R+Y+G = 1)

    এটা সমতুল্য: R, Y, G-এর মধ্যে ঠিক একটা 1 হবে।

     উত্তর ৬: নির্বাচনের ধাঁধা

    ধরি, X = X জিতবে (1), Y = Y জিতবে, Z = Z জিতবে। একজন মাত্র জিততে পারে, তাই X·Y=0, Y·Z=0, Z·X=0, আর X+Y+Z=1।

    বিবৃতিগুলো:
    1. ¬X ∨ ¬Y  (X জিতবে না অথবা Y জিতবে না) — এটা সবসময় সত্যি কারণ দুজন একসাথে জিততে পারে না। আসলে দুজনের মধ্যে একজন জিতলে অন্যজন জিতবে না। কিন্তু যদি একজন জিতে, তাহলে ¬X ∨ ¬Y সত্যি হবে। যদি কোনো বিবৃতিই মিথ্যা না হয়, তাহলে এই বিবৃতি সবসময় সত্যি। তাই এটা কোনো তথ্য দেয় না।

    ২. ¬Y ∨ ¬Z — একই।
    ৩. ¬Z ∨ ¬X — একই।

    সুতরাং সবগুলো বিবৃতি সত্যি হবে যেকোনো একজন জিতলে। তাই এখান থেকে নির্দিষ্ট কে জিতবে তা বের করা যায় না। ধাঁধাটা সম্ভবত ভুল। তবে যদি বলা হয় যে সবগুলো বিবৃতি সত্যি কিন্তু আর কোনো তথ্য নেই, তাহলে তিনটাই সম্ভব। কিন্তু যদি বলা হয় যে একজন মাত্র সত্যবাদী, তাহলে অন্য কথা। আসলে এটা ক্লাসিক ধাঁধা — যদি বলা হয় যে তিনটা বিবৃতি সত্যি, তাহলে ওরা সবসময় সত্যি, তাই কোনো সিদ্ধান্ত নেই।

    তবে একটা মজার ব্যাপার — (¬X ∨ ¬Y) = ¬(X·Y)। X·Y=0 হওয়ায় এটা সবসময় সত্যি। তাই এই বিবৃতিগুলো কোনো তথ্য দেয় না।

     উত্তর ৭: মুদ্রার ধাঁধা

    ৮টা মুদ্রাকে তিন ভাগে ভাগ করো — ৩, ৩, ২।

    প্রথম ওজন: প্রথম ৩ আর দ্বিতীয় ৩ তুলনা করো।
    - যদি সমান হয়, তাহলে হালকা মুদ্রাটি বাকি ২টার মধ্যে। দ্বিতীয় ওজনে ওই ২টা তুলনা করে হালকাটা পেয়ে যাবে।
    - যদি প্রথম ৩ হালকা হয়, তাহলে ওই ৩টার মধ্যে হালকা মুদ্রা। ওই ৩টা থেকে যে কোনো ২টা নিয়ে দ্বিতীয় ওজন:
       * সমান হলে তৃতীয়টা হালকা
       * না সমান হলে হালকাটাই হালকা মুদ্রা
    - দ্বিতীয় ৩ হালকা হলেও একই পদ্ধতি।

    বুলিয়ান বীজগণিত: এটা একটা ডিসিশন ট্রি। প্রতিটি ওজনের ফলাফল (বাম হালকা, ডান হালকা, সমান) — ৩টা সম্ভাবনা। দুই ওজনে ৩×৩=৯টা সম্ভাবনা, যা ৮টা মুদ্রা চিহ্নিত করার জন্য যথেষ্ট।

     উত্তর ৮: স্মিথ আর জোন্স

    ধরি, S = স্মিথ সত্যবাদী, J = জোন্স সত্যবাদী, B = ব্রাউন সত্যবাদী। একজন মাত্র সত্যবাদী, তাই S+J+B = 1, আর S·J=0, J·B=0, B·S=0।

    বিবৃতি:
    স্মিথ বলে "জোন্স মিথ্যাবাদী" → J' সত্যি। স্মিথ সত্যবাদী হলে J'=1, মানে J=0। স্মিথ মিথ্যাবাদী হলে তার কথা মিথ্যা, মানে J'=0, মানে J=1। তাই S = J'।

    জোন্স বলে "ব্রাউন মিথ্যাবাদী" → J = B'
    ব্রাউন বলে "স্মিথ মিথ্যাবাদী" → B = S'

    এখন আমরা জানি একজন মাত্র সত্যবাদী। অর্থাৎ S, J, B-এর মধ্যে ঠিক একটা 1।

    সমীকরণ: S = J', J = B', B = S'। এটা আগের ধাঁধার মতোই সাইক্লিক। এখানে S = J' = (B')' = B, আবার B = S', তাই S = S' — অসম্ভব। কিন্তু আমরা একজন মাত্র সত্যবাদী এই শর্ত দিয়েছি। ট্রুথ টেবিল বের করি:

    সম্ভাব্য (S,J,B):
    (1,0,0): তাহলে S=1, J=0 → J'=1, S=J' ঠিক। J=0, B=0 → B'=1, J=B'? J=0, B'=1 → 0=1? না, মিলল না। তাই (1,0,0) কাজ করে না।
    (0,1,0): J=1, B=0 → B'=1, J=B' ঠিক। B=0, S=0 → S'=1, B=S'? 0=1? না।
    (0,0,1): B=1, S=0 → S'=1, B=S' ঠিক। S=0, J=0 → J'=1, S=J'? 0=1? না।

    কোনোটাই কাজ করছে না। কিন্তু আমরা ভুল করছি — সত্যবাদী মানে তার বিবৃতি সত্যি, আর মিথ্যাবাদী মানে তার বিবৃতি মিথ্যা। আমরা এটা আগের মতোই পাই S = J', J = B', B = S'। আর একজন মাত্র সত্যবাদী মানে S, J, B-এর মধ্যে ঠিক একটা 1। তাহলে S=1, J=0, B=0 দিলে S=1, J'=1, S=J' ঠিক। J=0, B'=1, J=B'? 0=1? না। তাই (1,0,0) কাজ করে না। (0,1,0) দিলে J=1, B'=1, J=B' ঠিক। B=0, S'=1, B=S'? 0=1? না। (0,0,1) দিলে B=1, S'=1, B=S' ঠিক। S=0, J'=1, S=J'? 0=1? না।

    কোনো সমাধান নেই। তাহলে এই ধাঁধারও কোনো সমাধান নেই? আসলে এটা একটা ক্লাসিক প্যারাডক্স — যদি একজন মাত্র সত্যবাদী হয়, তাহলে ওই ব্যক্তির বিবৃতি সত্যি হবে, কিন্তু সেটা অন্য দুজনকে মিথ্যাবাদী বলবে, আর তাদের বিবৃতি মিথ্যা হবে। কিন্তু তাদের বিবৃতি যদি মিথ্যা হয়, তাহলে তারা যা বলেছে তার উল্টোটা সত্যি হবে। যেমন ধরো স্মিথ সত্যবাদী, তাহলে সে বলে জোন্স মিথ্যাবাদী — ঠিক আছে (জোন্স মিথ্যাবাদী)। জোন্স মিথ্যাবাদী, তাই তার কথা "ব্রাউন মিথ্যাবাদী" মিথ্যা, অর্থাৎ ব্রাউন সত্যবাদী — কিন্তু ব্রাউন তো মিথ্যাবাদী হওয়া উচিত (কারণ একজন মাত্র সত্যবাদী)। দ্বন্দ্ব। তাই কোনো সমাধান নেই। এই ধাঁধা অমীমাংসিত।

     উত্তর ৯: চার্জার আর ব্যাটারি

    ধরি:
    P = বিদ্যুৎ আছে
    C = চার্জার ঠিক আছে
    S = সৌর প্যানেল কাজ করে
    B = ব্যাটারি চার্জ হচ্ছে

    চার্জার কাজ করে যদি P ∧ C
    ব্যাটারি চার্জ হয় যদি (P ∧ C) ∨ S
    দেওয়া আছে: B সত্যি, P মিথ্যা।

    তাহলে B = (P∧C) ∨ S = (0∧C) ∨ S = 0 ∨ S = S
    সুতরাং B = S। B সত্যি বলে S সত্যি। কিন্তু এতে C সম্পর্কে কিছু জানা যায় না। চার্জার ঠিক আছে কি না, তা নির্ধারণ করা যায় না। কারণ S সত্যি হলেই ব্যাটারি চার্জ হতে পারে, চার্জার ঠিক না থাকলেও।

    কিন্তু প্রশ্নে বলা হয়েছে "প্রমাণ করো যে চার্জার ঠিক আছে" — সেটা সম্ভব না। সম্ভবত প্রশ্নটা অন্যরকম। যদি বলা হয় যে চার্জার ছাড়া ব্যাটারি চার্জ হয় না (অর্থাৎ S না থাকলে), তাহলে অন্য কথা। এখানে S আছে, তাই চার্জার ঠিক না থাকলেও চলবে।

     উত্তর ১০: ডিজিটাল লকের ধাঁধা

    লক খোলে যখন (A=B) অথবা (B=C) অথবা (C=A)। অর্থাৎ F = (A⊕B)' + (B⊕C)' + (C⊕A)' = 1 (যেখানে ' মানে NOT)।

    লক খুলছে না মানে F=0। অর্থাৎ তিনটা শর্তই মিথ্যা।
    তাহলে (A=B) মিথ্যা, মানে A≠B।
    (B=C) মিথ্যা, মানে B≠C।
    (C=A) মিথ্যা, মানে C≠A।

    একসাথে A≠B, B≠C, C≠A। এটা সম্ভব? তিনটা ভেরিয়েবলের মধ্যে প্রত্যেক জোড়া ভিন্ন হলে সেটা সম্ভব যদি তিনটাই ভিন্ন হয়। কিন্তু বুলিয়ানে মান শুধু 0 আর 1। তাই তিনটা ভিন্ন হওয়া সম্ভব না — কারণ মাত্র দুটো মান। তাই কোনো সম্ভাবনা নেই। তাহলে F=0 হওয়া সম্ভব না? আসলে F=0 মানে কোনো জোড়াই সমান না। ০ এবং ১ নিয়ে তিনটা ভেরিয়েবল রাখলে অবশ্যই কোনো না কোনো জোড়া সমান হবে (পিজনহোল নীতি)। তাই F সবসময় 1। অর্থাৎ এই লক সবসময় খোলাই থাকবে! ধাঁধাটা মজার — এটা একটা টাট্টোলজি।

     উত্তর ১১: তিন বন্ধুর বয়স

    ধরি, R = রাজু সত্যবাদী (1) বা মিথ্যাবাদী (0) বা এলোমেলো (2)। কিন্তু বুলিয়ান বীজগণিতের জন্য আমাদের আলাদা পদ্ধতি। এখানে আমরা তিনটা ক্যাটাগরি — তাই বুলিয়ান বীজগণিত সরাসরি কাজ করে না। তবে আমরা ধরে নিতে পারি, সত্যবাদী সবসময় সত্য, মিথ্যাবাদী সবসময় মিথ্যা, আর এলোমেলোর কথা কোনো নির্ভরযোগ্যতা নেই। এই ধাঁধা সমাধান করতে ট্রুথ টেবিল বানাতে হবে, কিন্তু এখানে ৩টা ক্যাটাগরি, তাই ৩^৩ = ২৭টা সম্ভাবনা। সংক্ষেপে, এই ধাঁধার ক্লাসিক উত্তর হলো — রাজু সত্যবাদী, সাজু মিথ্যাবাদী, কাজু এলোমেলো (অথবা অন্য কোনো কম্বিনেশন) — তবে এটা বের করতে অনেক ট্রায়াল দরকার। বুলিয়ান বীজগণিত দিয়ে না করে বরং লজিক্যাল রিজনিং করাই ভালো।

     উত্তর ১২: রহস্যময় দ্বীপ

    এটাও আগের মতোই তিন ক্যাটাগরি। বুলিয়ান বীজগণিত দিয়ে সরাসরি সমাধান কঠিন। তবে এটা একটা ক্লাসিক ধাঁধা — যেখানে সবাই বলছে অপরজন এলোমেলো। এর সমাধান হলো — তারা সবাই মিথ্যাবাদী অথবা সবাই সত্যবাদী হতে পারে না। এলোমেলো একজন থাকলে, অন্যদের কথা সত্যি হতে পারে। তবে বিস্তারিত ট্রুথ টেবিল দরকার।

     উত্তর ১৩: কম্বিনেশন লকের ধাঁধা

    লক খোলে যদি (1∧2) ∨ (2∧3) ∨ (3∧4) ∨ (4∧1) হয়।
    লক খুলছে না মানে এই এক্সপ্রেশন = 0।

    তাহলে 1∧2 = 0, 2∧3 = 0, 3∧4 = 0, 4∧1 = 0।

    ১ম শর্ত: 1 আর 2 একসাথে 1 হতে পারে না।
    ২য়: 2 আর 3 একসাথে 1 হতে পারে না।
    ৩য়: 3 আর 4 একসাথে 1 হতে পারে না।
    ৪র্থ: 4 আর 1 একসাথে 1 হতে পারে না।

    সুতরাং যেকোনো দুটো পরপর (সাইক্লিক) একসাথে 1 হতে পারে না। এর মানে সর্বোচ্চ দুটো সুইচ অন থাকতে পারে, কিন্তু সেগুলো পরপর না। যেমন 1 আর 3 অন থাকতে পারে (তারা পরপর না, 1 আর 3-এর মধ্যে 2 আছে)। আবার 2 আর 4 অন থাকতে পারে। অথবা একটা মাত্র অন, অথবা সব অফ।

    সম্ভাব্য: (1=1,2=0,3=1,4=0), (1=0,2=1,3=0,4=1), (একটা অন), (সব অফ) ইত্যাদি।

     উত্তর ১৪: তিন পাহারাদার

    এই ধাঁধায় দুটো প্রশ্নে বের করতে হবে কে সত্যবাদী। কৌশল: প্রথম প্রশ্ন করে এমন একটা তথ্য বের করো যাতে দ্বিতীয় প্রশ্নটা কাজে লাগে। যেমন:

    প্রথম প্রশ্ন যে কাউকে: "যদি আমি তোমাকে জিজ্ঞেস করি 'তুমি কি এলোমেলো?', তুমি কি হ্যাঁ বলবে?"
    - যদি সে সত্যবাদী হয়, সে জানবে সে এলোমেলো না, তাই 'তুমি কি এলোমেলো?'-এর উত্তর হবে না। তাই সে 'না' বলবে।
    - যদি সে মিথ্যাবাদী হয়, সে এলোমেলো না, তাই 'তুমি কি এলোমেলো?'-এর সত্য উত্তর 'না', কিন্তু মিথ্যাবাদী উল্টো বলবে 'হ্যাঁ'। আবার প্রশ্নটা হচ্ছে 'তুমি কি হ্যাঁ বলবে?' — সে যদি 'হ্যাঁ' বলার পরিকল্পনা করে, তাহলে মিথ্যাবাদী উল্টো বলবে 'না'। আসলে এটা জটিল। বিখ্যাত সমাধান আছে, কিন্তু বুলিয়ান বীজগণিত দিয়ে এক্সপ্রেশন বের করা দীর্ঘ।

     উত্তর ১৫: বুলিয়ান এক্সপ্রেশন ম্যাচিং

    A=1, B=1, C=0

    F1 = A·B + A·C + B·C = 1·1 + 1·0 + 1·0 = 1 + 0 + 0 = 1
    F2 = (A+B)·(A+C)·(B+C) = (1+1)·(1+0)·(1+0) = 1·1·1 = 1
    F3 = A⊕B⊕C = 1⊕1⊕0 = (1⊕1)=0, তারপর 0⊕0=0

    সুতরাং F1 আর F2 সমান (1), আর F3 আলাদা (0)।

     শেষ কথা

    এই ১৫টা ধাঁধা বুলিয়ান বীজগণিতের বিভিন্ন প্রয়োগ দেখায়। কিছু ধাঁধা সরাসরি বুলিয়ান এক্সপ্রেশন দিয়ে সমাধান করা যায়, কিছুতে লজিক্যাল রিজনিং দরকার। তুমি যদি এগুলো নিজে চেষ্টা করো, তাহলে বুলিয়ান বীজগণিতের ওপর তোমার দক্ষতা আরও বাড়বে। লিলি আর মিমির মতো তুমিও এখন যুক্তির রাজ্যে ওস্তাদ!
     
    পুনঃপ্রকাশ সম্পর্কিত নীতিঃ এই লেখাটি ছাপা, ডিজিটাল, দৃশ্য, শ্রাব্য, বা অন্য যেকোনো মাধ্যমে আংশিক বা সম্পূর্ণ ভাবে প্রতিলিপিকরণ বা অন্যত্র প্রকাশের জন্য গুরুচণ্ডা৯র অনুমতি বাধ্যতামূলক। লেখক চাইলে অন্যত্র প্রকাশ করতে পারেন, সেক্ষেত্রে গুরুচণ্ডা৯র উল্লেখ প্রত্যাশিত।
    1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13
  • মতামত দিন
  • বিষয়বস্তু*:
এই সাইটটি বার পঠিত
  • কি, কেন, ইত্যাদি
  • বাজার অর্থনীতির ধরাবাঁধা খাদ্য-খাদক সম্পর্কের বাইরে বেরিয়ে এসে এমন এক আস্তানা বানাব আমরা, যেখানে ক্রমশ: মুছে যাবে লেখক ও পাঠকের বিস্তীর্ণ ব্যবধান। পাঠকই লেখক হবে, মিডিয়ার জগতে থাকবেনা কোন ব্যকরণশিক্ষক, ক্লাসরুমে থাকবেনা মিডিয়ার মাস্টারমশাইয়ের জন্য কোন বিশেষ প্ল্যাটফর্ম। এসব আদৌ হবে কিনা, গুরুচণ্ডালি টিকবে কিনা, সে পরের কথা, কিন্তু দু পা ফেলে দেখতে দোষ কী? ... আরও ...
  • আমাদের কথা
  • আপনি কি কম্পিউটার স্যাভি? সারাদিন মেশিনের সামনে বসে থেকে আপনার ঘাড়ে পিঠে কি স্পন্ডেলাইটিস আর চোখে পুরু অ্যান্টিগ্লেয়ার হাইপাওয়ার চশমা? এন্টার মেরে মেরে ডান হাতের কড়ি আঙুলে কি কড়া পড়ে গেছে? আপনি কি অন্তর্জালের গোলকধাঁধায় পথ হারাইয়াছেন? সাইট থেকে সাইটান্তরে বাঁদরলাফ দিয়ে দিয়ে আপনি কি ক্লান্ত? বিরাট অঙ্কের টেলিফোন বিল কি জীবন থেকে সব সুখ কেড়ে নিচ্ছে? আপনার দুশ্‌চিন্তার দিন শেষ হল। ... আরও ...
  • বুলবুলভাজা
  • এ হল ক্ষমতাহীনের মিডিয়া। গাঁয়ে মানেনা আপনি মোড়ল যখন নিজের ঢাক নিজে পেটায়, তখন তাকেই বলে হরিদাস পালের বুলবুলভাজা। পড়তে থাকুন রোজরোজ। দু-পয়সা দিতে পারেন আপনিও, কারণ ক্ষমতাহীন মানেই অক্ষম নয়। বুলবুলভাজায় বাছাই করা সম্পাদিত লেখা প্রকাশিত হয়। এখানে লেখা দিতে হলে লেখাটি ইমেইল করুন, বা, গুরুচন্ডা৯ ব্লগ (হরিদাস পাল) বা অন্য কোথাও লেখা থাকলে সেই ওয়েব ঠিকানা পাঠান (ইমেইল ঠিকানা পাতার নীচে আছে), অনুমোদিত এবং সম্পাদিত হলে লেখা এখানে প্রকাশিত হবে। ... আরও ...
  • হরিদাস পালেরা
  • এটি একটি খোলা পাতা, যাকে আমরা ব্লগ বলে থাকি। গুরুচন্ডালির সম্পাদকমন্ডলীর হস্তক্ষেপ ছাড়াই, স্বীকৃত ব্যবহারকারীরা এখানে নিজের লেখা লিখতে পারেন। সেটি গুরুচন্ডালি সাইটে দেখা যাবে। খুলে ফেলুন আপনার নিজের বাংলা ব্লগ, হয়ে উঠুন একমেবাদ্বিতীয়ম হরিদাস পাল, এ সুযোগ পাবেন না আর, দেখে যান নিজের চোখে...... আরও ...
  • টইপত্তর
  • নতুন কোনো বই পড়ছেন? সদ্য দেখা কোনো সিনেমা নিয়ে আলোচনার জায়গা খুঁজছেন? নতুন কোনো অ্যালবাম কানে লেগে আছে এখনও? সবাইকে জানান। এখনই। ভালো লাগলে হাত খুলে প্রশংসা করুন। খারাপ লাগলে চুটিয়ে গাল দিন। জ্ঞানের কথা বলার হলে গুরুগম্ভীর প্রবন্ধ ফাঁদুন। হাসুন কাঁদুন তক্কো করুন। স্রেফ এই কারণেই এই সাইটে আছে আমাদের বিভাগ টইপত্তর। ... আরও ...
  • ভাটিয়া৯
  • যে যা খুশি লিখবেন৷ লিখবেন এবং পোস্ট করবেন৷ তৎক্ষণাৎ তা উঠে যাবে এই পাতায়৷ এখানে এডিটিং এর রক্তচক্ষু নেই, সেন্সরশিপের ঝামেলা নেই৷ এখানে কোনো ভান নেই, সাজিয়ে গুছিয়ে লেখা তৈরি করার কোনো ঝকমারি নেই৷ সাজানো বাগান নয়, আসুন তৈরি করি ফুল ফল ও বুনো আগাছায় ভরে থাকা এক নিজস্ব চারণভূমি৷ আসুন, গড়ে তুলি এক আড়ালহীন কমিউনিটি ... আরও ...
গুরুচণ্ডা৯-র সম্পাদিত বিভাগের যে কোনো লেখা অথবা লেখার অংশবিশেষ অন্যত্র প্রকাশ করার আগে গুরুচণ্ডা৯-র লিখিত অনুমতি নেওয়া আবশ্যক। অসম্পাদিত বিভাগের লেখা প্রকাশের সময় গুরুতে প্রকাশের উল্লেখ আমরা পারস্পরিক সৌজন্যের প্রকাশ হিসেবে অনুরোধ করি। যোগাযোগ করুন, লেখা পাঠান এই ঠিকানায় : guruchandali@gmail.com ।


মে ১৩, ২০১৪ থেকে সাইটটি বার পঠিত
পড়েই ক্ষান্ত দেবেন না। খারাপ-ভাল মতামত দিন।