এই সাইটটি বার পঠিত
ভাটিয়ালি | টইপত্তর | বুলবুলভাজা | হরিদাস পাল | খেরোর খাতা | বই
  • খেরোর খাতা

  •  সম্ভাবনা তত্ত্ব: রাজার নতুন শিক্ষানীতি  অধ্যায় ৬: দ্বিপদ বণ্টন —

    albert banerjee লেখকের গ্রাহক হোন
    ১৭ মার্চ ২০২৬ | ৪৯ বার পঠিত
  • 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6
    লিলির মুদ্রা ছোঁড়ার খেলা

    আগের অধ্যায়ে আমরা শিখেছিলাম দৈব চলক — কীভাবে দৈব ঘটনার ফলাফলগুলোকে সংখ্যায় রূপান্তর করতে হয়। লিলি আর মিমি এখন বুঝতে পেরেছে, দৈব চলকের গড় আর ভেদাঙ্ক বের করতে পারে। আজকের অধ্যায়ে আমরা শিখব দ্বিপদ বণ্টন (Binomial Distribution) — সম্ভাবনা তত্ত্বের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ আর জনপ্রিয় বণ্টনগুলোর একটা।

    পরদিন সকালে লিলি তার মায়ের কাছে গিয়ে বলল, "মা, গতকাল আমরা দৈব চলক শিখেছি। কিন্তু একটা জিনিস বুঝতে পারছি না — আমি যদি একটা মুদ্রা অনেকবার ছুঁড়ি, তাহলে কতবার মাথা পড়বে, সেটার একটা নিয়ম আছে কি?"

    মা বললেন, "অবশ্যই আছে। এটাই দ্বিপদ বণ্টন। যখন একটা পরীক্ষা বারবার করা হয়, আর প্রতিবার দুইটা ফলাফল থাকে — সফল আর ব্যর্থ — তখন দ্বিপদ বণ্টন ব্যবহার করা হয়।"

    মিমি বলল, "দ্বিপদ মানে দুইপদ? দুই ফলাফল?"

    মা বললেন, "ঠিক। মুদ্রার ক্ষেত্রে মাথা (সফল) আর লেজ (ব্যর্থ)। ডাইসের ক্ষেত্রে, যদি তুমি ৬ আসাকে সফল ধরা, তাহলে ৬ (সফল) আর অন্য সব (ব্যর্থ)।"

    লিলি বলল, "তাহলে শুরু করি?"

     দ্বিপদ পরীক্ষার শর্ত

    মা তাদের দ্বিপদ পরীক্ষার শর্তগুলো বললেন:

    ১. নির্দিষ্ট সংখ্যক পরীক্ষা (Fixed number of trials) — n বার পরীক্ষা করা হবে। যেমন — ১০ বার মুদ্রা ছোঁড়া।

    ২. দুইটা ফলাফল (Two outcomes) — প্রতিবার শুধু দুইটা ফলাফল সম্ভব — সফল আর ব্যর্থ।

    ৩. স্থির সম্ভাবনা (Constant probability) — প্রতিবার সফল হওয়ার সম্ভাবনা p একই থাকে।

    ৪. স্বাধীনতা (Independence) — প্রতিটি পরীক্ষার ফলাফল অন্য পরীক্ষার ওপর নির্ভর করে না।

    লিলি লিখল:
     n = পরীক্ষার সংখ্যা
     p = প্রতিবার সফল হওয়ার সম্ভাবনা
     q = ১p = প্রতিবার ব্যর্থ হওয়ার সম্ভাবনা
     X = সফলতার সংখ্যা (দৈব চলক)

    মিমি বলল, "মুদ্রা ছোঁড়ার ক্ষেত্রে n যেকোনো সংখ্যা, p = ০.৫, q = ০.৫ — সব শর্ত পূরণ হয়।"

    মা বললেন, "ঠিক।"

     দ্বিপদ বণ্টনের সূত্র

    মা তাদের দ্বিপদ বণ্টনের সূত্র লিখে দিলেন:

    P(X = r) = C(n,r) × p^r × q^(nr)

    যেখানে:
     n = মোট পরীক্ষার সংখ্যা
     r = সফলতার সংখ্যা
     p = সফল হওয়ার সম্ভাবনা
     q = ১p = ব্যর্থ হওয়ার সম্ভাবনা
     C(n,r) = n থেকে r বেছে নেওয়ার উপায় = n! / [r! × (nr)!]

    লিলি বলল, "C(n,r) — এটা আমরা সেট থিওরিতে শিখেছিলাম!"

    মা বললেন, "ঠিক। এটা কম্বিনেশন — কত উপায়ে n থেকে r বেছে নেওয়া যায়।"

    মিমি বলল, "p^r মানে r বার সফল হওয়ার সম্ভাবনা, আর q^(nr) মানে বাকি বার ব্যর্থ হওয়ার সম্ভাবনা।"

    মা বললেন, "ঠিক। আর C(n,r) দিয়ে বোঝায়, কোন কোন পরীক্ষায় সফল হবে, সেটার বিভিন্ন উপায়।"

     উদাহরণ ১: মুদ্রা ছোঁড়া

    লিলি ৫ বার মুদ্রা ছুঁড়ল। ঠিক ৩ বার মাথা পড়ার সম্ভাবনা কত?

    এখানে:
     n = ৫
     r = ৩
     p = ০.৫
     q = ০.৫

    প্রথমে C(৫,৩) বের করি:
    C(৫,৩) = ৫! / (৩! × ২!) = (৫×৪×৩×২×১) / (৩×২×১ × ২×১) = ১২০ / (৬×২) = ১২০/১২ = ১০

    তাহলে:
    P(X=৩) = ১০ × (০.৫)^৩ × (০.৫)^২
    = ১০ × ০.১২৫ × ০.২৫
    = ১০ × ০.০৩১২৫
    = ০.৩১২৫

    মিমি বলল, "প্রায় ৩১% — মানে ৫ বার ছুঁড়লে ৩ বার মাথা পড়ার সম্ভাবনা ৩১%।"

    মা বললেন, "ঠিক।"

     উদাহরণ ২: ডাইস ছোঁড়া

    মিমি ৪ বার ডাইস ছুঁড়ল। ঠিক ১ বার ৬ আসার সম্ভাবনা কত?

    এখানে:
     n = ৪
     r = ১
     p = ১/৬ ≈ ০.১৬৬৭
     q = ৫/৬ ≈ ০.৮৩৩৩

    C(৪,১) = ৪

    P(X=১) = ৪ × (১/৬)^১ × (৫/৬)^৩
    = ৪ × (১/৬) × (১২৫/২১৬)
    = ৪ × (১২৫ / ১২৯৬)
    = ৫০০ / ১২৯৬
    ≈ ০.৩৮৬

    লিলি বলল, "প্রায় ৩৮.৬% — মানে ৪ বার ছুঁড়লে ঠিক ১ বার ৬ আসার সম্ভাবনা ৩৮.৬%।"

    মা বললেন, "ঠিক।"

     দ্বিপদ বণ্টনের টেবিল

    মা তাদের দ্বিপদ বণ্টনের টেবিল তৈরি করতে বললেন। ৫ বার মুদ্রা ছোঁড়ার জন্য:

    | r | P(X=r) | হিসাব |
    | ০ | C(৫,০)×(০.৫)⁵ = ১ × ০.০৩১২৫ = ০.০৩১২৫ |
    | ১ | C(৫,১)×(০.৫)⁵ = ৫ × ০.০৩১২৫ = ০.১৫৬২৫ |
    | ২ | C(৫,২)×(০.৫)⁵ = ১০ × ০.০৩১২৫ = ০.৩১২৫ |
    | ৩ | C(৫,৩)×(০.৫)⁵ = ১০ × ০.০৩১২৫ = ০.৩১২৫ |
    | ৪ | C(৫,৪)×(০.৫)⁵ = ৫ × ০.০৩১২৫ = ০.১৫৬২৫ |
    | ৫ | C(৫,৫)×(০.৫)⁵ = ১ × ০.০৩১২৫ = ০.০৩১২৫ |

    মোট = ০.০৩১২৫+০.১৫৬২৫+০.৩১২৫+০.৩১২৫+০.১৫৬২৫+০.০৩১২৫ = ১

    মিমি বলল, "সব সম্ভাবনার যোগফল ১ — ঠিক আছে!"

    লিলি বলল, "দেখো, ২ আর ৩এর সম্ভাবনা সবচেয়ে বেশি — ০.৩১২৫ করে।"

    মা বললেন, "ঠিক। দ্বিপদ বণ্টন সাধারণত মাঝের মানগুলোতে বেশি সম্ভাবনা দেয়।"

     দ্বিপদ বণ্টনের গড়

    মা তাদের দ্বিপদ বণ্টনের গড় বের করার সূত্র শেখালেন:

    E(X) = n × p

    লিলি বলল, "এত সহজ? আগের অধ্যায়ে আমরা অনেক কষ্ট করে গড় বের করেছিলাম!"

    মা বললেন, "হ্যাঁ। দ্বিপদ বণ্টনের জন্য এই সহজ সূত্র কাজ করে।"

    ৫ বার মুদ্রা ছোঁড়ার জন্য:
    E(X) = ৫ × ০.৫ = ২.৫

    মিমি বলল, "আমরা টেবিল থেকেও বের করতে পারি: ০×০.০৩১২৫ + ১×০.১৫৬২৫ + ২×০.৩১২৫ + ৩×০.৩১২৫ + ৪×০.১৫৬২৫ + ৫×০.০৩১২৫ = ২.৫ — একই!"

    মা বললেন, "ঠিক। সূত্র কাজ করে।"

     দ্বিপদ বণ্টনের ভেদাঙ্ক

    মা তাদের দ্বিপদ বণ্টনের ভেদাঙ্কের সূত্রও শেখালেন:

    Var(X) = n × p × q

    σ = √(n × p × q)

    ৫ বার মুদ্রা ছোঁড়ার জন্য:
    Var(X) = ৫ × ০.৫ × ০.৫ = ৫ × ০.২৫ = ১.২৫
    σ = √১.২৫ ≈ ১.১১৮

    লিলি বলল, "এটাও সহজ!"

    মিমি বলল, "আগের অধ্যায়ের পদ্ধতিতেও কি একই আসে?"

    মা বললেন, "হ্যাঁ। E(X²) বের করে করলেও একই আসবে। কিন্তু এই সূত্রগুলো মনে রাখলে অনেক সময় বাঁচে।"

     উদাহরণ ৩: পরীক্ষায় পাশ

    লিলি একটা পরীক্ষার কথা ভাবল। পরীক্ষায় ১০টা MCQ আছে, প্রতিটাতে ৪টা করে অপশন। লিলি কিছুই পড়েনি, তাই সে অনুমান করে উত্তর দেবে।

    এখানে:
     n = ১০
     p = ১/৪ = ০.২৫ (সঠিক উত্তর দেওয়ার সম্ভাবনা)
     q = ০.৭৫

    ক) ঠিক ৫টা সঠিক উত্তর দেওয়ার সম্ভাবনা কত?
    P(X=৫) = C(১০,৫) × (০.২৫)^৫ × (০.৭৫)^৫

    C(১০,৫) = ২৫২
    (০.২৫)^৫ = ০.০০০৯৭৬৫৬২৫
    (০.৭৫)^৫ = ০.২৩৭৩০৪৬৮৭৫

    P(X=৫) = ২৫২ × ০.০০০৯৭৬৫৬২৫ × ০.২৩৭৩০৪৬৮৭৫
    = ২৫২ × ০.০০০২৩১৭
    ≈ ০.০৫৮৪

    মিমি বলল, "মাত্র ৫.৮% — খুব কম!"

    লিলি বলল, "অনুমান করে ১০এ ৫ পাওয়া কঠিন!"

     উদাহরণ ৪: পাশ করার সম্ভাবনা

    মিমি বলল, "পাশ করতে হলে ১০এ অন্তত ৬টা সঠিক লাগে। সেটার সম্ভাবনা কত?"

    P(X ≥ ৬) = P(X=৬) + P(X=৭) + P(X=৮) + P(X=৯) + P(X=১০)

    এটা হিসাব করা একটু কঠিন, কিন্তু আমরা বের করতে পারি:

    P(X=৬) = C(১০,৬) × (০.২৫)^৬ × (০.৭৫)^৪
    C(১০,৬) = ২১০
    (০.২৫)^৬ = ০.০০০২৪৪১৪০৬২৫
    (০.৭৫)^৪ = ০.৩১৬৪০৬২৫
    P(X=৬) = ২১০ × ০.০০০২৪৪১৪ × ০.৩১৬৪১ ≈ ২১০ × ০.০০০০৭৭২ ≈ ০.০১৬২

    P(X=৭) = C(১০,৭) × (০.২৫)^৭ × (০.৭৫)^৩
    C(১০,৭) = ১২০
    (০.২৫)^৭ = ০.০০০০৬১০৩৫
    (০.৭৫)^৩ = ০.৪২১৮৭৫
    P(X=৭) = ১২০ × ০.০০০০৬১ × ০.৪২২ ≈ ১২০ × ০.০০০০২৫৭ ≈ ০.০০৩১

    P(X=৮) = C(১০,৮) × (০.২৫)^৮ × (০.৭৫)^২
    C(১০,৮) = ৪৫
    (০.২৫)^৮ = ০.০০০০১৫২৬
    (০.৭৫)^২ = ০.৫৬২৫
    P(X=৮) = ৪৫ × ০.০০০০১৫৩ × ০.৫৬২৫ ≈ ৪৫ × ০.০০০০০৮৬ ≈ ০.০০০৩৯

    P(X=৯) = C(১০,৯) × (০.২৫)^৯ × (০.৭৫)^১
    C(১০,৯) = ১০
    (০.২৫)^৯ = ০.০০০০০৩৮
    (০.৭৫)^১ = ০.৭৫
    P(X=৯) = ১০ × ০.০০০০০৩৮ × ০.৭৫ ≈ ১০ × ০.০০০০০২৯ ≈ ০.০০০০২৯

    P(X=১০) = C(১০,১০) × (০.২৫)^১০ × (০.৭৫)^০
    = ১ × ০.০০০০০০৯৫ × ১ = ০.০০০০০০৯৫

    যোগ করলে: ০.০১৬২ + ০.০০৩১ + ০.০০০৩৯ + ০.০০০০২৯ + ০.০০০০০১ ≈ ০.০১৯৭

    মিমি বলল, "প্রায় ২% — অনুমান করে পাশ করা প্রায় অসম্ভব!"

    মা বললেন, "ঠিক। এজন্যই পরীক্ষায় অনুমান করে পাশ করা কঠিন।"

     দ্বিপদ বণ্টনের আকৃতি

    মা তাদের দ্বিপদ বণ্টনের আকৃতি সম্পর্কে বললেন। তিনি বললেন, "pএর মানের ওপর নির্ভর করে দ্বিপদ বণ্টনের আকৃতি বদলায়।"

    ১. p = ০.৫ — বণ্টনটি সিমেট্রিক (প্রতিসম)। যেমন মুদ্রা ছোঁড়া।

    ২. p < ০.৫ — বণ্টনটি ডান দিকে skew । ছোট মানের সম্ভাবনা বেশি।

    ৩. p > ০.৫ — বণ্টনটি বাম দিকে skew । বড় মানের সম্ভাবনা বেশি।

    লিলি বলল, "p = ০.২৫ এর জন্য আমরা দেখলাম, ০,১,২এর সম্ভাবনা বেশি, ৮,৯,১০এর খুব কম — এটাই skew।"

    মা বললেন, "ঠিক। n বাড়লে বণ্টন স্বাভাবিক বণ্টনের কাছাকাছি হয়ে যায়।"

     ক্রমযোজিত সম্ভাবনা

    মা তাদের ক্রমযোজিত সম্ভাবনা (Cumulative Probability) শেখালেন। তিনি বললেন, "কখনও কখনও আমাদের rএর কম বা সমান মানের সম্ভাবনা দরকার হয়। যেমন — ৫এর কম বা সমান।"

    F(r) = P(X ≤ r) = Σ P(X = i) for i = ০ to r

    লিলি মুদ্রার উদাহরণে ৩এর কম বা সমান বের করল:
    P(X ≤ ৩) = P(X=০) + P(X=১) + P(X=২) + P(X=৩)
    = ০.০৩১২৫ + ০.১৫৬২৫ + ০.৩১২৫ + ০.৩১২৫ = ০.৮১২৫

    মিমি বলল, "মানে ৫ বার ছুঁড়লে ৩ বা তার কম মাথা পড়ার সম্ভাবনা ৮১.২৫%।"

    মা বললেন, "ঠিক।"

     দ্বিপদ বণ্টনের বাস্তব ব্যবহার

    মা তাদের দ্বিপদ বণ্টনের কিছু বাস্তব ব্যবহার দেখালেন:

    ১. গুণগত মান নিয়ন্ত্রণ (Quality Control) — কোনো কারখানায় ১০০টা পণ্যের মধ্যে ত্রুটিপূর্ণ পণ্যের সংখ্যা। প্রতিটি পণ্য ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা p ধরা হয়।

    ২. ওষুধ পরীক্ষা — নতুন ওষুধ ২০ জন রোগীকে দেওয়া হলো। কতজন সুস্থ হবে — এটা দ্বিপদ বণ্টন।

    ৩. জরিপ — ১০০০ জনের মতামত নেওয়া হলো। কতজন কোনো দলকে সমর্থন করে — এটা দ্বিপদ বণ্টন।

    ৪. ক্রীড়া — কোনো বাস্কেটবল খেলোয়াড়ের ফ্রি থ্রো সফলতার হার ৮০%। ১০টা থ্রোয়ে কতটা সফল হবে — দ্বিপদ বণ্টন।

    ৫. পরীক্ষা — MCQ পরীক্ষায় অনুমান করে কতটা সঠিক হবে — আমরা দেখেছি।

    লিলি বলল, "দ্বিপদ বণ্টন আমাদের চারপাশে!"

    মিমি বলল, "হ্যাঁ। যেখানেই দুই ফলাফল আর বারবার পরীক্ষা, সেখানেই দ্বিপদ বণ্টন।"

     লিলির অনুশীলনী

    লিলি নিজে কিছু অনুশীলনী বানাল:

    ১. একটা মুদ্রা ৮ বার ছোঁড়া হলো। ঠিক ৫ বার মাথা পড়ার সম্ভাবনা কত?
    n=৮, r=৫, p=০.৫, q=০.৫
    C(৮,৫) = ৫৬
    P = ৫৬ × (০.৫)^৮ = ৫৬ × ০.০০৩৯০৬২৫ = ০.২১৮৭৫

    ২. একটা ডাইস ৬ বার ছোঁড়া হলো। ঠিক ২ বার ৬ আসার সম্ভাবনা কত?
    n=৬, r=২, p=১/৬, q=৫/৬
    C(৬,২) = ১৫
    P = ১৫ × (১/৬)^২ × (৫/৬)^৪ = ১৫ × (১/৩৬) × (৬২৫/১২৯৬) = ১৫ × ৬২৫ / (৩৬×১২৯৬) = ৯৩৭৫ / ৪৬৬৫৬ ≈ ০.২০১

    ৩. ১০টা MCQতে অনুমান করে ঠিক ৩টা সঠিক হওয়ার সম্ভাবনা কত? (প্রতিটাতে ৪টা অপশন)
    n=১০, r=৩, p=০.২৫, q=০.৭৫
    C(১০,৩) = ১২০
    P = ১২০ × (০.২৫)^৩ × (০.৭৫)^৭ = ১২০ × ০.০১৫৬২৫ × ০.১৩৩৪৮ ≈ ১২০ × ০.০০২০৮ = ০.২৫

    মিমি বলল, "সবগুলো সঠিক!"

     দ্বিপদ বণ্টনের সীমাবদ্ধতা

    মা তাদের দ্বিপদ বণ্টনের কিছু সীমাবদ্ধতাও বললেন:

    ১. শর্ত পূরণ করা আবশ্যক — পরীক্ষাগুলো স্বাধীন হতে হবে, p স্থির থাকতে হবে। বাস্তবে সবসময় এটা হয় না।

    ২. n বড় হলে হিসাব কঠিন — n বড় হলে C(n,r) বের করা কঠিন। তখন অন্য পদ্ধতি দরকার (যেমন পোয়াসোঁ বা স্বাভাবিক বণ্টন)।

    ৩. শুধু দুই ফলাফল — দুইয়ের বেশি ফলাফল থাকলে দ্বিপদ বণ্টন কাজ করে না। তখন মাল্টিনোমিয়াল বণ্টন দরকার।

    লিলি বলল, "কিন্তু তাও দ্বিপদ বণ্টন খুব দরকারি, তাই না?"

    মা বললেন, "হ্যাঁ। সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত বণ্টনগুলোর মধ্যে এটা একটা।"

    রাতে খাবার টেবিলে লিলি আর মিমি তাদের বাবাকে দ্বিপদ বণ্টন শেখাতে লাগল।

    লিলি বলল, "বাবা, তুমি কি জানো, ৫ বার মুদ্রা ছুঁড়লে ঠিক ৩ বার মাথা পড়ার সম্ভাবনা ৩১%?"

    বাবা বললেন, "সত্যি? আমি তো ভাবতাম ৫০% হবে!"

    মিমি বলল, "না না। সম্ভাবনা ৩১%। আর ৫ বার ছুঁড়লে গড়ে ২.৫ বার মাথা পড়বে।"

    লিলি বলল, "আর ১০টা MCQতে অনুমান করে পাশ করার সম্ভাবনা মাত্র ২%!"

    বাবা বললেন, "তা হলে অনুমান করে পরীক্ষা দেওয়া ঠিক না!"

     শোওয়ার আগে

    রাতে শোওয়ার আগে লিলি আর মিমি তাদের আজকের পড়া রিভাইজ করল।

    লিলি লিখল:
     দ্বিপদ পরীক্ষার শর্ত: নির্দিষ্ট n, দুই ফলাফল, স্থির p, স্বাধীনতা
     দ্বিপদ বণ্টনের সূত্র: P(X=r) = C(n,r) × p^r × q^(nr)
     দ্বিপদ বণ্টনের গড়: E(X) = n × p
     দ্বিপদ বণ্টনের ভেদাঙ্ক: Var(X) = n × p × q

    মিমি লিখল:
     উদাহরণ ১: ৫ মুদ্রায় ৩ মাথা — ০.৩১২৫
     উদাহরণ ২: ৪ ডাইসে ১ বার ৬ — ০.৩৮৬
     উদাহরণ ৩: ১০ MCQতে ৫ সঠিক — ০.০৫৮
     উদাহরণ ৪: ১০ MCQতে পাশ — ০.০২
     দ্বিপদ বণ্টনের আকৃতি: p=০.৫ সিমেট্রিক, p<০.৫ ডান skew, p>০.৫ বাম skew

    লিলি লিখল:
     ক্রমযোজিত সম্ভাবনা: P(X ≤ r) = Σ P(X=i)
     বাস্তব ব্যবহার: গুণগত মান নিয়ন্ত্রণ, ওষুধ পরীক্ষা, জরিপ, ক্রীড়া

    মিমি বলল, "কাল আমরা পোয়াসোঁ বণ্টন শিখব। সেটা আরও মজা হবে।"

    লিলি বলল, "মানে বিরল ঘটনার বণ্টন?"

    মিমি বলল, "হ্যাঁ। যেমন — এক ঘণ্টায় কয়টা ফোন কল আসে।"

    তারা ঘুমিয়ে পড়ল।

    টিপস

    তোমরাও লিলি আর মিমির মতো দ্বিপদ বণ্টন শিখে ফেললে। এখন তুমি জানো, কীভাবে বারবার পরীক্ষায় সফলতার সংখ্যার সম্ভাবনা বের করতে হয়।

    তোমার চারপাশ থেকে দ্বিপদ বণ্টনের উদাহরণ বের করতে পারো। যেমন:

     ১০ বার ফ্রি থ্রো নিলে কতবার স্কোর হবে? (বাস্কেটবল)
     ২০টা প্রশ্নের পরীক্ষায় অনুমান করে কতটা সঠিক হবে?
     ১০০টা পণ্যের মধ্যে কতটা ত্রুটিপূর্ণ হবে?
     ৫টা সন্তানের মধ্যে কতজন ছেলে হবে? (ছেলেমেয়ে হওয়ার সম্ভাবনা প্রায় ০.৫)
     ৩০ বার চেষ্টায় কতবার ছক্কা মারবে? (ক্রিকেট)

    এভাবে প্রতিদিন ৫টা করে দ্বিপদ বণ্টনের উদাহরণ বের করার অভ্যাস করো।

    মনে রাখার মূল কথা:
     দ্বিপদ পরীক্ষার শর্তগুলো মনে রাখো
     সূত্র: P(X=r) = C(n,r) × p^r × q^(nr)
     গড়: n×p
     ভেদাঙ্ক: n×p×q
     p=০.৫ হলে সিমেট্রিক, না হলে skew

     শেষ কথা

    এই অধ্যায়ে আমরা শিখলাম দ্বিপদ বণ্টন। আমরা জানলাম, এটা তখন ব্যবহার হয় যখন একটা পরীক্ষা n বার করা হয়, প্রতিবার দুই ফলাফল থাকে, আর সফলতার সম্ভাবনা p স্থির থাকে। আমরা শিখলাম দ্বিপদ বণ্টনের সূত্র, গড়, ভেদাঙ্ক, আর বিভিন্ন উদাহরণ দেখলাম।

    লিলি আর মিমি তাদের নিজের জীবন থেকে অসংখ্য উদাহরণ দিয়েছে — মুদ্রা ছোঁড়া, ডাইস ছোঁড়া, পরীক্ষায় অনুমান — সবকিছুর জন্য। তারা দেখিয়েছে, কীভাবে দ্বিপদ বণ্টন বাস্তব জীবনের সমস্যা সমাধান করে।

    পরের অধ্যায়ে আমরা শিখব পোয়াসোঁ বণ্টন — বিরল ঘটনার বণ্টন। সেখানে আমরা দেখব, কীভাবে বিরল ঘটনার সংখ্যার সম্ভাবনা বের করতে হয়।

    ততক্ষণে, তোমরা নিজেরা নিজেদের জীবন থেকে দ্বিপদ বণ্টনের উদাহরণ বের করতে থাকো।
     
    পুনঃপ্রকাশ সম্পর্কিত নীতিঃ এই লেখাটি ছাপা, ডিজিটাল, দৃশ্য, শ্রাব্য, বা অন্য যেকোনো মাধ্যমে আংশিক বা সম্পূর্ণ ভাবে প্রতিলিপিকরণ বা অন্যত্র প্রকাশের জন্য গুরুচণ্ডা৯র অনুমতি বাধ্যতামূলক। লেখক চাইলে অন্যত্র প্রকাশ করতে পারেন, সেক্ষেত্রে গুরুচণ্ডা৯র উল্লেখ প্রত্যাশিত।
    1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6
  • মতামত দিন
  • বিষয়বস্তু*:
এই সাইটটি বার পঠিত
  • কি, কেন, ইত্যাদি
  • বাজার অর্থনীতির ধরাবাঁধা খাদ্য-খাদক সম্পর্কের বাইরে বেরিয়ে এসে এমন এক আস্তানা বানাব আমরা, যেখানে ক্রমশ: মুছে যাবে লেখক ও পাঠকের বিস্তীর্ণ ব্যবধান। পাঠকই লেখক হবে, মিডিয়ার জগতে থাকবেনা কোন ব্যকরণশিক্ষক, ক্লাসরুমে থাকবেনা মিডিয়ার মাস্টারমশাইয়ের জন্য কোন বিশেষ প্ল্যাটফর্ম। এসব আদৌ হবে কিনা, গুরুচণ্ডালি টিকবে কিনা, সে পরের কথা, কিন্তু দু পা ফেলে দেখতে দোষ কী? ... আরও ...
  • আমাদের কথা
  • আপনি কি কম্পিউটার স্যাভি? সারাদিন মেশিনের সামনে বসে থেকে আপনার ঘাড়ে পিঠে কি স্পন্ডেলাইটিস আর চোখে পুরু অ্যান্টিগ্লেয়ার হাইপাওয়ার চশমা? এন্টার মেরে মেরে ডান হাতের কড়ি আঙুলে কি কড়া পড়ে গেছে? আপনি কি অন্তর্জালের গোলকধাঁধায় পথ হারাইয়াছেন? সাইট থেকে সাইটান্তরে বাঁদরলাফ দিয়ে দিয়ে আপনি কি ক্লান্ত? বিরাট অঙ্কের টেলিফোন বিল কি জীবন থেকে সব সুখ কেড়ে নিচ্ছে? আপনার দুশ্‌চিন্তার দিন শেষ হল। ... আরও ...
  • বুলবুলভাজা
  • এ হল ক্ষমতাহীনের মিডিয়া। গাঁয়ে মানেনা আপনি মোড়ল যখন নিজের ঢাক নিজে পেটায়, তখন তাকেই বলে হরিদাস পালের বুলবুলভাজা। পড়তে থাকুন রোজরোজ। দু-পয়সা দিতে পারেন আপনিও, কারণ ক্ষমতাহীন মানেই অক্ষম নয়। বুলবুলভাজায় বাছাই করা সম্পাদিত লেখা প্রকাশিত হয়। এখানে লেখা দিতে হলে লেখাটি ইমেইল করুন, বা, গুরুচন্ডা৯ ব্লগ (হরিদাস পাল) বা অন্য কোথাও লেখা থাকলে সেই ওয়েব ঠিকানা পাঠান (ইমেইল ঠিকানা পাতার নীচে আছে), অনুমোদিত এবং সম্পাদিত হলে লেখা এখানে প্রকাশিত হবে। ... আরও ...
  • হরিদাস পালেরা
  • এটি একটি খোলা পাতা, যাকে আমরা ব্লগ বলে থাকি। গুরুচন্ডালির সম্পাদকমন্ডলীর হস্তক্ষেপ ছাড়াই, স্বীকৃত ব্যবহারকারীরা এখানে নিজের লেখা লিখতে পারেন। সেটি গুরুচন্ডালি সাইটে দেখা যাবে। খুলে ফেলুন আপনার নিজের বাংলা ব্লগ, হয়ে উঠুন একমেবাদ্বিতীয়ম হরিদাস পাল, এ সুযোগ পাবেন না আর, দেখে যান নিজের চোখে...... আরও ...
  • টইপত্তর
  • নতুন কোনো বই পড়ছেন? সদ্য দেখা কোনো সিনেমা নিয়ে আলোচনার জায়গা খুঁজছেন? নতুন কোনো অ্যালবাম কানে লেগে আছে এখনও? সবাইকে জানান। এখনই। ভালো লাগলে হাত খুলে প্রশংসা করুন। খারাপ লাগলে চুটিয়ে গাল দিন। জ্ঞানের কথা বলার হলে গুরুগম্ভীর প্রবন্ধ ফাঁদুন। হাসুন কাঁদুন তক্কো করুন। স্রেফ এই কারণেই এই সাইটে আছে আমাদের বিভাগ টইপত্তর। ... আরও ...
  • ভাটিয়া৯
  • যে যা খুশি লিখবেন৷ লিখবেন এবং পোস্ট করবেন৷ তৎক্ষণাৎ তা উঠে যাবে এই পাতায়৷ এখানে এডিটিং এর রক্তচক্ষু নেই, সেন্সরশিপের ঝামেলা নেই৷ এখানে কোনো ভান নেই, সাজিয়ে গুছিয়ে লেখা তৈরি করার কোনো ঝকমারি নেই৷ সাজানো বাগান নয়, আসুন তৈরি করি ফুল ফল ও বুনো আগাছায় ভরে থাকা এক নিজস্ব চারণভূমি৷ আসুন, গড়ে তুলি এক আড়ালহীন কমিউনিটি ... আরও ...
গুরুচণ্ডা৯-র সম্পাদিত বিভাগের যে কোনো লেখা অথবা লেখার অংশবিশেষ অন্যত্র প্রকাশ করার আগে গুরুচণ্ডা৯-র লিখিত অনুমতি নেওয়া আবশ্যক। অসম্পাদিত বিভাগের লেখা প্রকাশের সময় গুরুতে প্রকাশের উল্লেখ আমরা পারস্পরিক সৌজন্যের প্রকাশ হিসেবে অনুরোধ করি। যোগাযোগ করুন, লেখা পাঠান এই ঠিকানায় : guruchandali@gmail.com ।


মে ১৩, ২০১৪ থেকে সাইটটি বার পঠিত
পড়েই ক্ষান্ত দেবেন না। ক্যাবাত বা দুচ্ছাই মতামত দিন।