এই সাইটটি বার পঠিত
ভাটিয়ালি | টইপত্তর | বুলবুলভাজা | হরিদাস পাল | খেরোর খাতা | বই
  • খেরোর খাতা

  •  সম্ভাবনা তত্ত্ব: রাজার নতুন শিক্ষানীতি  অধ্যায় ৩: শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা — 

    albert banerjee লেখকের গ্রাহক হোন
    ০৭ মার্চ ২০২৬ | ৪৩ বার পঠিত
  • 1 | 2 | 3
    লিলির যদি-তবে জগৎ

    আগের অধ্যায়ে আমরা শিখেছিলাম নমুনা ক্ষেত্র — সব সম্ভাব্য ফলাফলের সেট। লিলি আর মিমি এখন বুঝতে পেরেছে, কীভাবে পরীক্ষার সব সম্ভাব্য ফলাফল বের করতে হয়। আজকের অধ্যায়ে আমরা শিখব শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা (Conditional Probability) — যদি কোনো ঘটনা আগে ঘটে থাকে, তাহলে অন্য ঘটনার সম্ভাবনা কীভাবে বদলে যায়।

     সকালবেলার ঘটনা

    পরদিন সকালে লিলি তার মায়ের কাছে গিয়ে বলল, "মা, গতকাল আমরা নমুনা ক্ষেত্র শিখেছি। কিন্তু একটা জিনিস বুঝতে পারছি না — যদি আমি জানি যে একটা ঘটনা ঘটে গেছে, তাহলে অন্য ঘটনার সম্ভাবনা কি বদলে যায়?"

    মা বললেন, "অবশ্যই যায়। এটাই শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনার মূল কথা।"

    মিমি বলল, "শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা? মানে 'যদি' দেওয়া থাকে, তাহলে সম্ভাবনা কত?"

    মা বললেন, "ঠিক। যেমন — যদি জানি আজ বৃষ্টি হয়েছে, তাহলে মাটি ভিজে থাকার সম্ভাবনা অনেক বেশি।"

    লিলি বলল, "তাহলে শুরু করি?"

     শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনার সংজ্ঞা

    মা তাদের শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনার সংজ্ঞা দিতে শুরু করলেন। তিনি বললেন, "শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা হলো, কোনো ঘটনা B ঘটেছে জেনে, অন্য ঘটনা A ঘটার সম্ভাবনা। একে লেখা হয় P(A|B)।"

    সূত্র: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), যেখানে P(B) > ০

    লিলি লিখল:
    - P(A|B) = 'B ঘটেছে জেনে A ঘটার সম্ভাবনা'
    - P(A ∩ B) = A আর B একসাথে ঘটার সম্ভাবনা
    - P(B) = B ঘটার সম্ভাবনা

    মিমি বলল, "মানে প্রথমে A আর B একসাথে ঘটার সম্ভাবনা বের করে, তারপর B-এর সম্ভাবনা দিয়ে ভাগ করতে হবে?"

    মা বললেন, "ঠিক। কারণ B ঘটেছে জেনে, আমরা নমুনা ক্ষেত্রকে B-তে সীমাবদ্ধ করে ফেলছি।"

     উদাহরণ: ডাইস ছোঁড়া

    মা একটা সহজ উদাহরণ দিলেন। একটা ডাইস ছোঁড়া হলো। ঘটনা A = {২,৪,৬} (জোড় সংখ্যা), ঘটনা B = {৪,৫,৬} (৩-এর বেশি)।

    P(A) = ৩/৬ = ০.৫
    P(B) = ৩/৬ = ০.৫
    P(A ∩ B) = {৪,৬} = ২/৬ = ১/৩ ≈ ০.৩৩৩

    এখন, B ঘটেছে জেনে A ঘটার সম্ভাবনা:
    P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = (২/৬) / (৩/৬) = ২/৩ ≈ ০.৬৬৭

    লিলি বলল, "B ঘটেছে জেনে A-র সম্ভাবনা বেড়ে গেল — ০.৫ থেকে ০.৬৬৭!"

    মিমি বলল, "কারণ B-তে জোড় সংখ্যা বেশি (৪ আর ৬), তাই B ঘটলে A ঘটার সম্ভাবনা বেড়ে যায়।"

    মা বললেন, "ঠিক। শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা এভাবেই কাজ করে।"

     আরেকটা উদাহরণ — মিছরির জার

    লিলি তার মিছরির জারের কথা মনে করল। জারে আছে ৫টা লাল, ৩টা নীল, ২টা সবুজ মিছরি — মোট ১০টা।

    ঘটনা A = লাল মিছরি তোলা
    ঘটনা B = নীল না তোলা (অর্থাৎ লাল বা সবুজ)

    P(A) = ৫/১০ = ০.৫
    P(B) = (৫+২)/১০ = ৭/১০ = ০.৭
    P(A ∩ B) = A ∩ B = লাল তোলা (কারণ লাল পড়ে B-তে) = ৫/১০ = ০.৫

    এখন, B ঘটেছে জেনে A ঘটার সম্ভাবনা:
    P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = ০.৫ / ০.৭ = ৫/৭ ≈ ০.৭১৪

    মিমি বলল, "B ঘটলে A-র সম্ভাবনা বেড়ে ০.৭১৪ হয়েছে!"

    লিলি বলল, "কারণ B-তে লাল আর সবুজ আছে, নীল নেই। তাই লালের সম্ভাবনা বেড়ে যায়।"

     গুণন সূত্র

    মা তাদের গুণন সূত্র (Multiplication Rule) শেখালেন। তিনি বললেন, "শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনার সূত্র থেকে আমরা পাই:"

    P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) = P(B) × P(A|B)

    লিলি বলল, "মানে A আর B একসাথে ঘটার সম্ভাবনা বের করতে, আগে A-র সম্ভাবনা, তারপর A ঘটেছে জেনে B-র সম্ভাবনা গুণ করতে হবে?"

    মা বললেন, "ঠিক। অথবা আগে B, তারপর B ঘটেছে জেনে A।"

    মিমি বলল, "এটা খুব কাজের সূত্র!"

    উদাহরণ: একটা তাসের গোছা থেকে একটার পর একটা তাস তোলা, পুনরাবৃত্তি ছাড়া। প্রথমটা টেক্কা, দ্বিতীয়টা টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

    P(প্রথম টেক্কা) = ৪/৫২
    P(দ্বিতীয় টেক্কা | প্রথম টেক্কা) = ৩/৫১
    P(দুটো টেক্কা) = (৪/৫২) × (৩/৫১) = ১২/২৬৫২ ≈ ০.০০৪৫

     নির্ভরশীল আর স্বাধীন ঘটনা

    মা তাদের নির্ভরশীল আর স্বাধীন ঘটনার ধারণা শেখালেন। তিনি বললেন, "দুটো ঘটনা স্বাধীন যদি P(A|B) = P(A) হয়। অর্থাৎ B ঘটলে A-র সম্ভাবনা বদলায় না।"

    লিলি বলল, "মানে A আর B-র মধ্যে কোনো সম্পর্ক নেই?"

    মা বললেন, "ঠিক। যেমন — দুটো মুদ্রা ছোঁড়া। প্রথমটা মাথা আসার সাথে দ্বিতীয়টা মাথা আসার কোনো সম্পর্ক নেই।"

    স্বাধীন ঘটনার ক্ষেত্রে:
    P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

    মিমি বলল, "আর নির্ভরশীল ঘটনার ক্ষেত্রে?"

    মা বললেন, "সেক্ষেত্রে P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) — আগের সূত্রই কাজ করে।"

    লিলি লিখল:
    - স্বাধীন: P(A|B) = P(A), P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
    - নির্ভরশীল: P(A|B) ≠ P(A), P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A)

     উদাহরণ: স্বাধীন ঘটনা

    লিলি একটা উদাহরণ দিল — দুটো মুদ্রা ছোঁড়া।

    A = প্রথমটা মাথা, B = দ্বিতীয়টা মাথা
    P(A) = ০.৫, P(B) = ০.৫
    P(A ∩ B) = ০.২৫ = ০.৫ × ০.৫ — স্বাধীন!

    আবার শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা বের করি:
    P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = ০.২৫ / ০.৫ = ০.৫ = P(A)

    মিমি বলল, "দেখো, P(A|B) = P(A) — স্বাধীন!"

    মা বললেন, "ঠিক। মুদ্রার ঘটনাগুলো স্বাধীন।"

     উদাহরণ: নির্ভরশীল ঘটনা

    মিমি একটা নির্ভরশীল ঘটনার উদাহরণ দিল — তাসের গোছা থেকে পুনরাবৃত্তি ছাড়া দুটো তাস তোলা।

    A = প্রথমটা টেক্কা, B = দ্বিতীয়টা টেক্কা
    P(A) = ৪/৫২
    P(B) = ৪/৫২ (প্রথমটা যাই হোক না কেন, দ্বিতীয়টা টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা ৪/৫২? না, প্রথমটা টেক্কা হলে দ্বিতীয়টা টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা ৩/৫১, প্রথমটা টেক্কা না হলে ৪/৫১ — তাই P(B) বের করা একটু জটিল।)

    কিন্তু P(A|B) বের করা যাক:
    P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
    P(A ∩ B) = (৪/৫২) × (৩/৫১) = ১২/২৬৫২
    P(B) বের করা যাক: B ঘটার সম্ভাবনা = (৪/৫২) × (৩/৫১) + (৪৮/৫২) × (৪/৫১) = ১২/২৬৫২ + ১৯২/২৬৫২ = ২০৪/২৬৫২ = ৪/৫২ (মজার ব্যাপার — P(B) = ৪/৫২!)

    তাহলে P(A|B) = (১২/২৬৫২) / (৪/৫২) = (১২/২৬৫২) × (৫২/৪) = (১২×৫২)/(২৬৫২×৪) = ৬২৪/(১০৬০৮) = ৩/৫১ ≈ ০.০৫৮৮

    আর P(A) = ৪/৫২ ≈ ০.০৭৬৯। এরা সমান না — তাই নির্ভরশীল।

    মা বললেন, "ঠিক। তাসের ঘটনা নির্ভরশীল, কারণ একবার টেক্কা তুললে দ্বিতীয় টেক্কার সম্ভাবনা কমে যায়।"

     বেয়েসের উপপাদ্যের প্রাথমিক ধারণা

    মা তাদের বেয়েসের উপপাদ্যের (Bayes' Theorem) প্রাথমিক ধারণা দিলেন। তিনি বললেন, "বেয়েসের উপপাদ্য শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনার উল্টোটা বের করে। অর্থাৎ P(A|B) জানা থাকলে P(B|A) বের করা যায়।"

    সূত্র: P(B|A) = P(A|B) × P(B) / P(A)

    লিলি বলল, "এটা দিয়ে কী হয়?"

    মা বললেন, "ধরো, কোনো রোগ ১% লোকের হয়। টেস্ট ৯৯% নির্ভুল — অর্থাৎ রোগী থাকলে ৯৯% বার পজিটিভ দেখায়, আর সুস্থ থাকলে ৯৯% বার নেগেটিভ দেখায়। তোমার টেস্ট পজিটিভ এলে, তোমার রোগ হওয়ার সম্ভাবনা কত?"

    মিমি বলল, "৯৯% না?"

    মা বললেন, "না। বেয়েসের উপপাদ্য দিয়ে বের করলে দেখা যায়, সম্ভাবনা প্রায় ৫০% — পরের অধ্যায়ে আমরা বিস্তারিত দেখব।"

    লিলি বলল, "বাহ! এটা তো চমৎকার!"

     লিলির নিজের উদাহরণ — বন্ধুদের খেলা

    লিলি তার বন্ধুদের নিয়ে একটা উদাহরণ বানাল। রিয়া, মিতা, সুমি, তিথি — এই চার বন্ধু থেকে দুজনকে বেছে নেওয়া হবে সিনেমা দেখতে যাওয়ার জন্য।

    ঘটনা A = রিয়া নির্বাচিত হবে
    ঘটনা B = মিতা নির্বাচিত হবে

    মোট সম্ভাব্য জোড়: ৬টা — {রিয়া-মিতা}, {রিয়া-সুমি}, {রিয়া-তিথি}, {মিতা-সুমি}, {মিতা-তিথি}, {সুমি-তিথি}

    P(A) = রিয়া আছে এমন জোড় = ৩/৬ = ০.৫
    P(B) = মিতা আছে এমন জোড় = ৩/৬ = ০.৫
    P(A ∩ B) = {রিয়া-মিতা} = ১/৬ ≈ ০.১৬৭

    এখন, মিতা নির্বাচিত হয়েছে জেনে রিয়া নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা:
    P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = (১/৬) / (৩/৬) = ১/৩ ≈ ০.৩৩৩

    মিমি বলল, "মিতা নির্বাচিত হলে রিয়া নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা কমে গেল — ০.৫ থেকে ০.৩৩৩!"

    লিলি বলল, "হ্যাঁ, কারণ মিতা নির্বাচিত হয়ে গেলে বাকি একটা জায়গার জন্য প্রতিযোগিতা কমে যায়।"

     আরেকটা উদাহরণ — পরিবারের সন্তান

    মিমি একটা পরিবারের সন্তান নিয়ে উদাহরণ দিল। একটা পরিবারে দুটো সন্তান আছে।

    নমুনা ক্ষেত্র: {BB, BG, GB, GG} (B = ছেলে, G = মেয়ে)

    ঘটনা A = অন্তত একটা মেয়ে আছে = {BG, GB, GG} — ৩টা
    ঘটনা B = দুটো মেয়ে আছে = {GG} — ১টা

    P(A) = ৩/৪ = ০.৭৫
    P(B) = ১/৪ = ০.২৫
    P(A ∩ B) = B (কারণ B ⊂ A) = ১/৪ = ০.২৫

    এখন, অন্তত একটা মেয়ে আছে জেনে দুটো মেয়ে হওয়ার সম্ভাবনা:
    P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) = (১/৪) / (৩/৪) = ১/৩ ≈ ০.৩৩৩

    লিলি বলল, "অন্তত একটা মেয়ে আছে জেনে, দুটো মেয়ে হওয়ার সম্ভাবনা ১/৩ — মজার!"

    মা বললেন, "হ্যাঁ। অনেকে ভুল করে বলে ১/২, কিন্তু সঠিক উত্তর ১/৩।"

     ট্রি ডায়াগ্রামে শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা

    মা তাদের ট্রি ডায়াগ্রামে শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা দেখালেন। একটা উদাহরণ — দুটো মিছরি তোলা, পুনরাবৃত্তি ছাড়া, ৫টা লাল, ৩টা নীল মিছরি থেকে।

    প্রথম ধাপ: লাল (৫/৮) বা নীল (৩/৮)
    দ্বিতীয় ধাপ: প্রথমটা লাল হলে — লাল (৪/৭), নীল (৩/৭)
    প্রথমটা নীল হলে — লাল (৫/৭), নীল (২/৭)

    এখন, দ্বিতীয়টা লাল হওয়ার সম্ভাবনা কত? এটা শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনার ওপর নির্ভর করে।

    P(দ্বিতীয় লাল) = P(প্রথম লাল) × P(দ্বিতীয় লাল|প্রথম লাল) + P(প্রথম নীল) × P(দ্বিতীয় লাল|প্রথম নীল)
    = (৫/৮) × (৪/৭) + (৩/৮) × (৫/৭) = (২০/৫৬) + (১৫/৫৬) = ৩৫/৫৬ = ৫/৮

    মজার ব্যাপার — প্রথমটা লাল হওয়ার সম্ভাবনা আর দ্বিতীয়টা লাল হওয়ার সম্ভাবনা সমান (৫/৮)!

    মিমি বলল, "এটা কেন?"

    মা বললেন, "কারণ প্রতিটি মিছরি সমান সম্ভাব্য। প্রথম, দ্বিতীয় — কোনো ক্রমেই সম্ভাবনা বদলায় না।"

     স্বাধীনতা পরীক্ষা

    মা তাদের স্বাধীনতা পরীক্ষার একটা সহজ উপায় শেখালেন। তিনি বললেন, "দুটো ঘটনা স্বাধীন কিনা পরীক্ষা করতে, দেখো P(A ∩ B) = P(A) × P(B) হয় কিনা।"

    লিলি ডাইসের উদাহরণে পরীক্ষা করল:
    A = {২,৪,৬}, B = {৪,৫,৬}
    P(A) = ৩/৬, P(B) = ৩/৬, P(A) × P(B) = ৯/৩৬ = ১/৪ = ০.২৫
    P(A ∩ B) = ২/৬ = ১/৩ ≈ ০.৩৩৩ — সমান না, তাই স্বাধীন না।

    মিমি মুদ্রার উদাহরণে পরীক্ষা করল:
    A = প্রথম মাথা, B = দ্বিতীয় মাথা
    P(A) = ০.৫, P(B) = ০.৫, P(A) × P(B) = ০.২৫
    P(A ∩ B) = ০.২৫ — সমান, তাই স্বাধীন।

    মা বললেন, "এই পরীক্ষাটা খুব সহজ আর কাজের।"

     লিলির অনুশীলনী

    লিলি নিজে কিছু অনুশীলনী বানাল:

    ১. একটা ডাইস ছোঁড়া হলো। A = {১,২,৩}, B = {২,৪,৬}। P(A|B) কত?
    P(A ∩ B) = {২} = ১/৬, P(B) = ৩/৬ = ০.৫, P(A|B) = (১/৬)/(৩/৬) = ১/৩ ≈ ০.৩৩৩

    ২. একটা মুদ্রা আর একটা ডাইস একসাথে ছোঁড়া হলো। A = মাথা, B = জোড় সংখ্যা। এরা স্বাধীন কিনা?
    P(A) = ০.৫, P(B) = ০.৫, P(A) × P(B) = ০.২৫
    P(A ∩ B) = মাথা আর জোড় = ৩/১২ = ০.২৫ — স্বাধীন!

    ৩. একটা তাসের গোছা থেকে একটা তাস তোলা হলো। A = টেক্কা, B = কালো রঙ। P(A|B) কত?
    P(A ∩ B) = কালো টেক্কা = ২/৫২, P(B) = ২৬/৫২ = ০.৫, P(A|B) = (২/৫২)/(২৬/৫২) = ২/২৬ = ১/১৩ ≈ ০.০৭৭ — P(A) = ৪/৫২ = ১/১৩ — সমান! এরা স্বাধীন!

    মিমি বলল, "টেক্কা আর কালো রঙ স্বাধীন — মজার!"

    মা বললেন, "হ্যাঁ। কারণ সব রঙে সমান সংখ্যক টেক্কা আছে।"

     শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনার বাস্তব ব্যবহার

    মা তাদের শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনার কিছু বাস্তব ব্যবহার দেখালেন:

    ১. চিকিৎসা বিজ্ঞান — কোনো রোগের টেস্ট পজিটিভ এলে, রোগী আসলে রোগী কিনা — এটা শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা।

    ২. আবহাওয়া পূর্বাভাস — যদি আজ মেঘলা থাকে, তাহলে বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা কত — এটা শর্তসাপেক্ষ।

    ৩. মেশিন লার্নিং — স্প্যাম ফিল্টার: কোনো ইমেলে কিছু শব্দ থাকলে, সেটা স্প্যাম হওয়ার সম্ভাবনা কত।

    ৪. অর্থনীতি — শেয়ার বাজারে: যদি সুদের হার কমে, তাহলে শেয়ারের দাম বাড়ার সম্ভাবনা কত।

    ৫. গেম থিওরি — খেলায় প্রতিপক্ষের আগের চাল দেখে পরবর্তী চালের সম্ভাবনা বের করা।

    লিলি বলল, "আমাদের চারপাশের সবকিছুতেই শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা!"

    মিমি বলল, "হ্যাঁ। আমরা সবসময় 'যদি' দিয়ে চিন্তা করি।"

    রাতে খাবার টেবিলে লিলি আর মিমি তাদের বাবাকে শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা শেখাতে লাগল।

    লিলি বলল, "বাবা, তুমি কি জানো, একটা পরিবারে দুটো সন্তান আছে। যদি বলি অন্তত একটা মেয়ে আছে, তাহলে দুটো মেয়ে হওয়ার সম্ভাবনা কত?"

    বাবা বললেন, "১/২?"

    মিমি বলল, "না না, ১/৩! আমরা আজ শিখেছি।"

    লিলি বলল, "আর একটা মুদ্রা আর ডাইস — এরা স্বাধীন। কারণ P(মাথা আর জোড়) = P(মাথা) × P(জোড়)।"

    বাবা বললেন, "বাহ! তোরা তো আমার চেয়েও বেশি জানিস!"

    মা বললেন, "ওরা এখন শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনার ওস্তাদ।"

     শোওয়ার আগে

    রাতে শোওয়ার আগে লিলি আর মিমি তাদের আজকের পড়া রিভাইজ করল।

    লিলি লিখল:
    - শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
    - গুণন সূত্র: P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) = P(B) × P(A|B)
    - স্বাধীন ঘটনা: P(A|B) = P(A), P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
    - নির্ভরশীল ঘটনা: P(A|B) ≠ P(A)
    - বেয়েসের উপপাদ্যের প্রাথমিক ধারণা

    মিমি লিখল:
    - উদাহরণ: ডাইসে P(A|B) = ২/৩
    - মিছরির জারে P(A|B) = ৫/৭
    - বন্ধু নির্বাচনে P(A|B) = ১/৩
    - পরিবারের সন্তানে P(B|A) = ১/৩
    - ট্রি ডায়াগ্রামে শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা
    - স্বাধীনতা পরীক্ষা: P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

    লিলি বলল, "কাল আমরা বেয়েসের উপপাদ্য শিখব। সেটা আরও মজা হবে।"

    মিমি বলল, "মানে শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনার উল্টোটা?"

    লিলি বলল, "হ্যাঁ।"

    তারা ঘুমিয়ে পড়ল।

    টিপস

    তোমরাও লিলি আর মিমির মতো শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা শিখে ফেললে। এখন তুমি জানো, যদি কোনো ঘটনা আগে ঘটে থাকে, তাহলে অন্য ঘটনার সম্ভাবনা কীভাবে বদলে যায়।

    তোমার চারপাশ থেকে শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনার উদাহরণ বের করতে পারো। যেমন:

    - যদি আজ বৃষ্টি হয়, তাহলে মাটি ভিজে থাকার সম্ভাবনা কত?
    - যদি তুমি পড়াশোনা করো, তাহলে পরীক্ষায় পাশ করার সম্ভাবনা কত?
    - যদি বন্ধুরা খেলতে আসে, তাহলে মজা হওয়ার সম্ভাবনা কত?
    - যদি মা বাজার থেকে মাছ আনেন, তাহলে আজ মাছ খাওয়ার সম্ভাবনা কত?
    - যদি আকাশে মেঘ থাকে, তাহলে বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা কত?

    এভাবে প্রতিদিন ৫টা করে শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনার উদাহরণ বের করার অভ্যাস করো।

    মনে রাখার মূল কথা:
    - P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
    - গুণন সূত্র: P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A)
    - স্বাধীন: P(A|B) = P(A), P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
    - নির্ভরশীল: P(A|B) ≠ P(A)

    এই অধ্যায়ে আমরা শিখলাম শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা। আমরা জানলাম, কোনো ঘটনা ঘটেছে জেনে অন্য ঘটনার সম্ভাবনা কীভাবে বের করতে হয়। আমরা গুণন সূত্র শিখলাম, স্বাধীন আর নির্ভরশীল ঘটনার পার্থক্য বুঝলাম, আর ট্রি ডায়াগ্রামে শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা দেখলাম।

    লিলি আর মিমি তাদের নিজের জীবন থেকে অসংখ্য উদাহরণ দিয়েছে — ডাইস, মিছরি, বন্ধু নির্বাচন, পরিবারের সন্তান — সবকিছুর জন্য। তারা দেখিয়েছে, কীভাবে 'যদি' দিয়ে চিন্তা করলে সম্ভাবনা বদলে যায়।

    পরের অধ্যায়ে আমরা শিখব বেয়েসের উপপাদ্য — শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনার উল্টোটা বের করার জাদুর সূত্র।

    ততক্ষণে, তোমরা নিজেরা নিজেদের জীবন থেকে শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনার উদাহরণ বের করতে থাকো।
     
    পুনঃপ্রকাশ সম্পর্কিত নীতিঃ এই লেখাটি ছাপা, ডিজিটাল, দৃশ্য, শ্রাব্য, বা অন্য যেকোনো মাধ্যমে আংশিক বা সম্পূর্ণ ভাবে প্রতিলিপিকরণ বা অন্যত্র প্রকাশের জন্য গুরুচণ্ডা৯র অনুমতি বাধ্যতামূলক। লেখক চাইলে অন্যত্র প্রকাশ করতে পারেন, সেক্ষেত্রে গুরুচণ্ডা৯র উল্লেখ প্রত্যাশিত।
    1 | 2 | 3
  • মতামত দিন
  • বিষয়বস্তু*:
এই সাইটটি বার পঠিত
  • কি, কেন, ইত্যাদি
  • বাজার অর্থনীতির ধরাবাঁধা খাদ্য-খাদক সম্পর্কের বাইরে বেরিয়ে এসে এমন এক আস্তানা বানাব আমরা, যেখানে ক্রমশ: মুছে যাবে লেখক ও পাঠকের বিস্তীর্ণ ব্যবধান। পাঠকই লেখক হবে, মিডিয়ার জগতে থাকবেনা কোন ব্যকরণশিক্ষক, ক্লাসরুমে থাকবেনা মিডিয়ার মাস্টারমশাইয়ের জন্য কোন বিশেষ প্ল্যাটফর্ম। এসব আদৌ হবে কিনা, গুরুচণ্ডালি টিকবে কিনা, সে পরের কথা, কিন্তু দু পা ফেলে দেখতে দোষ কী? ... আরও ...
  • আমাদের কথা
  • আপনি কি কম্পিউটার স্যাভি? সারাদিন মেশিনের সামনে বসে থেকে আপনার ঘাড়ে পিঠে কি স্পন্ডেলাইটিস আর চোখে পুরু অ্যান্টিগ্লেয়ার হাইপাওয়ার চশমা? এন্টার মেরে মেরে ডান হাতের কড়ি আঙুলে কি কড়া পড়ে গেছে? আপনি কি অন্তর্জালের গোলকধাঁধায় পথ হারাইয়াছেন? সাইট থেকে সাইটান্তরে বাঁদরলাফ দিয়ে দিয়ে আপনি কি ক্লান্ত? বিরাট অঙ্কের টেলিফোন বিল কি জীবন থেকে সব সুখ কেড়ে নিচ্ছে? আপনার দুশ্‌চিন্তার দিন শেষ হল। ... আরও ...
  • বুলবুলভাজা
  • এ হল ক্ষমতাহীনের মিডিয়া। গাঁয়ে মানেনা আপনি মোড়ল যখন নিজের ঢাক নিজে পেটায়, তখন তাকেই বলে হরিদাস পালের বুলবুলভাজা। পড়তে থাকুন রোজরোজ। দু-পয়সা দিতে পারেন আপনিও, কারণ ক্ষমতাহীন মানেই অক্ষম নয়। বুলবুলভাজায় বাছাই করা সম্পাদিত লেখা প্রকাশিত হয়। এখানে লেখা দিতে হলে লেখাটি ইমেইল করুন, বা, গুরুচন্ডা৯ ব্লগ (হরিদাস পাল) বা অন্য কোথাও লেখা থাকলে সেই ওয়েব ঠিকানা পাঠান (ইমেইল ঠিকানা পাতার নীচে আছে), অনুমোদিত এবং সম্পাদিত হলে লেখা এখানে প্রকাশিত হবে। ... আরও ...
  • হরিদাস পালেরা
  • এটি একটি খোলা পাতা, যাকে আমরা ব্লগ বলে থাকি। গুরুচন্ডালির সম্পাদকমন্ডলীর হস্তক্ষেপ ছাড়াই, স্বীকৃত ব্যবহারকারীরা এখানে নিজের লেখা লিখতে পারেন। সেটি গুরুচন্ডালি সাইটে দেখা যাবে। খুলে ফেলুন আপনার নিজের বাংলা ব্লগ, হয়ে উঠুন একমেবাদ্বিতীয়ম হরিদাস পাল, এ সুযোগ পাবেন না আর, দেখে যান নিজের চোখে...... আরও ...
  • টইপত্তর
  • নতুন কোনো বই পড়ছেন? সদ্য দেখা কোনো সিনেমা নিয়ে আলোচনার জায়গা খুঁজছেন? নতুন কোনো অ্যালবাম কানে লেগে আছে এখনও? সবাইকে জানান। এখনই। ভালো লাগলে হাত খুলে প্রশংসা করুন। খারাপ লাগলে চুটিয়ে গাল দিন। জ্ঞানের কথা বলার হলে গুরুগম্ভীর প্রবন্ধ ফাঁদুন। হাসুন কাঁদুন তক্কো করুন। স্রেফ এই কারণেই এই সাইটে আছে আমাদের বিভাগ টইপত্তর। ... আরও ...
  • ভাটিয়া৯
  • যে যা খুশি লিখবেন৷ লিখবেন এবং পোস্ট করবেন৷ তৎক্ষণাৎ তা উঠে যাবে এই পাতায়৷ এখানে এডিটিং এর রক্তচক্ষু নেই, সেন্সরশিপের ঝামেলা নেই৷ এখানে কোনো ভান নেই, সাজিয়ে গুছিয়ে লেখা তৈরি করার কোনো ঝকমারি নেই৷ সাজানো বাগান নয়, আসুন তৈরি করি ফুল ফল ও বুনো আগাছায় ভরে থাকা এক নিজস্ব চারণভূমি৷ আসুন, গড়ে তুলি এক আড়ালহীন কমিউনিটি ... আরও ...
গুরুচণ্ডা৯-র সম্পাদিত বিভাগের যে কোনো লেখা অথবা লেখার অংশবিশেষ অন্যত্র প্রকাশ করার আগে গুরুচণ্ডা৯-র লিখিত অনুমতি নেওয়া আবশ্যক। অসম্পাদিত বিভাগের লেখা প্রকাশের সময় গুরুতে প্রকাশের উল্লেখ আমরা পারস্পরিক সৌজন্যের প্রকাশ হিসেবে অনুরোধ করি। যোগাযোগ করুন, লেখা পাঠান এই ঠিকানায় : guruchandali@gmail.com ।


মে ১৩, ২০১৪ থেকে সাইটটি বার পঠিত
পড়েই ক্ষান্ত দেবেন না। ভালবেসে মতামত দিন।