এই সাইটটি বার পঠিত
ভাটিয়ালি | টইপত্তর | বুলবুলভাজা | হরিদাস পাল | খেরোর খাতা | বই
  • খেরোর খাতা

  •  সম্ভাবনা তত্ত্ব: রাজার নতুন শিক্ষানীতি  অধ্যায় ২: নমুনা ক্ষেত্র — 

    albert banerjee লেখকের গ্রাহক হোন
    ০৬ মার্চ ২০২৬ | ৮০ বার পঠিত
  • 1 | 2 | 3
    লিলির সব সম্ভাবনার জগৎ

    আগের অধ্যায়ে আমরা শিখেছিলাম সম্ভাবনার মৌলিক ধারণা — কীভাবে মুদ্রা ছোঁড়া আর ডাইস ছোঁড়া থেকে সম্ভাবনা বের করতে হয়। লিলি আর মিমি এখন বুঝতে পেরেছে, সম্ভাবনা হলো অনিশ্চয়তা মাপার একটা উপায়। আজকের অধ্যায়ে আমরা শিখব নমুনা ক্ষেত্র (Sample Space) — সম্ভাবনা তত্ত্বের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ভিত্তি।

    গল্প শুরু করি সেখান থেকে, যেখানে আগের অধ্যায় শেষ হয়েছিল।

    পরদিন সকালে লিলি তার মায়ের কাছে গিয়ে বলল, "মা, গতকাল আমরা সম্ভাবনা শিখেছি। কিন্তু একটা জিনিস বুঝতে পারছি না — 'সব সম্ভাব্য ফলাফল' বলতে কী বোঝায়? মুদ্রা ছোঁড়ার সময় তো শুধু মাথা আর লেজ — এটাই সব। কিন্তু জটিল কোনো ঘটনার সময় সব সম্ভাব্য ফলাফল বের করা কি সম্ভব?"

    মা বললেন, "ভালো প্রশ্ন। সব সম্ভাব্য ফলাফলের সেটকেই বলে নমুনা ক্ষেত্র। আজ আমরা সেটা নিয়েই বিস্তারিত শিখব।"

    মিমি বলল, "নমুনা ক্ষেত্র? মজার নাম!"

    মা বললেন, "হ্যাঁ। ইংরেজিতে বলে Sample Space। এটা সম্ভাবনা তত্ত্বের ভিত্তি।"

     নমুনা ক্ষেত্র কী

    মা তাদের নমুনা ক্ষেত্রের সংজ্ঞা দিতে শুরু করলেন। তিনি বললেন, "নমুনা ক্ষেত্র হলো একটা পরীক্ষার সব সম্ভাব্য ফলাফলের সেট। যেমন — একটা মুদ্রা ছোঁড়ার পরীক্ষায় নমুনা ক্ষেত্র S = {মাথা, লেজ}।"

    লিলি লিখল:
    - মুদ্রা: S = {H, T} (H = Head, T = Tail)
    - ডাইস: S = {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬}
    - দুটো মুদ্রা: S = {HH, HT, TH, TT}

    মিমি বলল, "দুটো মুদ্রার ক্ষেত্রে চারটা ফলাফল হচ্ছে — HT আর TH আলাদা?"

    মা বললেন, "হ্যাঁ। প্রথমটা মাথা দ্বিতীয়টা লেজ, আর প্রথমটা লেজ দ্বিতীয়টা মাথা — এরা আলাদা ঘটনা।"

    লিলি বলল, "তাহলে অর্ডার গুরুত্বপূর্ণ?"

    মা বললেন, "হ্যাঁ, পরীক্ষার ওপর নির্ভর করে। কখনও অর্ডার গুরুত্বপূর্ণ, কখনও না।"

     নমুনা ক্ষেত্রের প্রকার

    মা তাদের নমুনা ক্ষেত্রের বিভিন্ন প্রকার দেখালেন:

    ১. সসীম নমুনা ক্ষেত্র (Finite Sample Space) — যেখানে ফলাফলের সংখ্যা সসীম। যেমন মুদ্রা (২টা), ডাইস (৬টা), তাস (৫২টা)।

    ২. অসীম নমুনা ক্ষেত্র (Infinite Sample Space) — যেখানে ফলাফলের সংখ্যা অসীম। যেমন — একটা বৃষ্টির ফোঁটার ওজন মাপা (০ থেকে ∞), বা একটা লাঠির দৈর্ঘ্য মাপা।

    ৩. গণনাযোগ্য অসীম (Countably Infinite) — যেমন — একটা মুদ্রা ছুঁড়তে থাকা যতক্ষণ না মাথা পড়ে। ফলাফল হতে পারে ১ বার, ২ বার, ৩ বার... অসীম পর্যন্ত।

    ৪. অগণনাযোগ্য অসীম (Uncountably Infinite) — যেমন — ০ থেকে ১-এর মধ্যে যেকোনো বাস্তব সংখ্যা বেছে নেওয়া।

    লিলি বলল, "এত রকম! আমরা কি সব শিখব?"

    মা বললেন, "আপাতত সসীম নমুনা ক্ষেত্র নিয়েই আমরা কাজ করব।"

     লিলির নিজের উদাহরণ — মিছরির জার

    লিলি তার মিছরির জারের কথা মনে করল। জারে আছে ৫টা লাল, ৩টা নীল, ২টা সবুজ মিছরি। সে একটা মিছরি তুলবে।

    এখানে নমুনা ক্ষেত্র কী?

    মিমি বলল, "মিছরিগুলো আলাদা আলাদা — ধরি L1, L2, L3, L4, L5 (লাল), N1, N2, N3 (নীল), S1, S2 (সবুজ)। তাহলে S = {L1, L2, L3, L4, L5, N1, N2, N3, S1, S2} — ১০টা ফলাফল।"

    লিলি বলল, "কিন্তু আমরা তো রঙ নিয়েই আগ্রহী। তাহলে কি আমরা S = {লাল, নীল, সবুজ} ধরতে পারি না?"

    মা বললেন, "পারো, যদি তুমি শুধু রঙ নিয়ে আগ্রহী হও। তখন প্রতিটি রঙের সম্ভাবনা বের করতে হবে — লালের সম্ভাবনা ৫/১০, নীলের ৩/১০, সবুজের ২/১০। কিন্তু যদি তুমি প্রতিটি মিছরি আলাদা করে চিনতে চাও, তাহলে ১০টা ফলাফল ধরতে হবে।"

    মিমি বলল, "মানে নমুনা ক্ষেত্র নির্ভর করে আমরা কী জানতে চাইছি, তার ওপর?"

    মা বললেন, "ঠিক। একই পরীক্ষার জন্য একাধিক নমুনা ক্ষেত্র থাকতে পারে, নির্ভর করে তোমার আগ্রহের ওপর।"

     ঘটনা — নমুনা ক্ষেত্রের উপসেট

    মা তাদের ঘটনার সংজ্ঞা মনে করিয়ে দিলেন। তিনি বললেন, "ঘটনা হলো নমুনা ক্ষেত্রের একটা উপসেট। যেমন — ডাইসের ক্ষেত্রে A = জোড় সংখ্যা আসা = {২,৪,৬}।"

    লিলি লিখল:
    - সরল ঘটনা (Simple Event) — একটা মাত্র ফলাফল নিয়ে গঠিত। যেমন — {৩}
    - যৌগিক ঘটনা (Compound Event) — একাধিক ফলাফল নিয়ে গঠিত। যেমন — {২,৪,৬}
    - নিশ্চিত ঘটনা (Certain Event) — পুরো নমুনা ক্ষেত্র। যেমন — {১,২,৩,৪,৫,৬}
    - অসম্ভব ঘটনা (Impossible Event) — ফাঁকা সেট { }

    মিমি বলল, "এটা তো সেট থিওরির মতো! ঘটনা মানে সেটের উপসেট।"

    মা বললেন, "ঠিক। সম্ভাবনা তত্ত্ব আর সেট থিওরি খুব ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত।"

     ঘটনার ক্রিয়া

    মা তাদের ঘটনার ওপর বিভিন্ন ক্রিয়া দেখালেন:

    ১. পরিপূরক ঘটনা (Complement) — A না ঘটার ঘটনা। লেখা হয় A' বা Aᶜ।

    উদাহরণ: ডাইসে A = {২,৪,৬} হলে A' = {১,৩,৫}

    ২. ছেদ (Intersection) — A আর B দুটোই ঘটার ঘটনা। লেখা হয় A ∩ B।

    উদাহরণ: A = {২,৪,৬}, B = {৪,৫,৬} হলে A ∩ B = {৪,৬}

    ৩. সংযোগ (Union) — A অথবা B ঘটার ঘটনা। লেখা হয় A ∪ B।

    উদাহরণ: A ∪ B = {২,৪,৫,৬}

    ৪. পার্থক্য (Difference) — A ঘটবে কিন্তু B ঘটবে না। লেখা হয় A - B।

    উদাহরণ: A - B = {২}

    লিলি বলল, "এগুলো তো সেট থিওরির অপারেশনের মতোই!"

    মা বললেন, "হ্যাঁ। পার্থক্য শুধু এখানে আমরা সম্ভাবনা বের করি।"

     পারস্পরিকভাবে বিচ্ছিন্ন ঘটনা

    মা তাদের আরেকটা গুরুত্বপূর্ণ ধারণা শেখালেন — পারস্পরিকভাবে বিচ্ছিন্ন ঘটনা (Mutually Exclusive Events)।

    তিনি বললেন, "দুটো ঘটনা পারস্পরিকভাবে বিচ্ছিন্ন যদি তারা একসাথে ঘটতে না পারে। অর্থাৎ A ∩ B = ∅।"

    লিলি উদাহরণ দিল:
    - ডাইসে A = {১,২}, B = {৫,৬} — এরা বিচ্ছিন্ন, কারণ একসাথে হতে পারে না।
    - আবার C = {২,৪,৬}, D = {৪,৫} — এরা বিচ্ছিন্ন না, কারণ ৪ কমন।

    মিমি বলল, "বিচ্ছিন্ন ঘটনার ক্ষেত্রে P(A ∪ B) = P(A) + P(B)।"

    মা বললেন, "ঠিক। কারণ কমন কিছু নেই, তাই বিয়োগ করতে হয় না।"

     লিলির নিজের উদাহরণ — স্কুলের ক্লাস

    লিলি তার ক্লাসের ছাত্রছাত্রীদের নিয়ে একটা নমুনা ক্ষেত্র বানাল। তার ক্লাসে ৩০ জন ছাত্র। তার মধ্যে ১৮ জন ছেলে, ১২ জন মেয়ে। ছেলেদের মধ্যে ১০ জন চশমা পরে, মেয়েদের মধ্যে ৪ জন চশমা পরে।

    এখন নমুনা ক্ষেত্র S = সব ছাত্রছাত্রী — ৩০ জন।

    ঘটনা:
    - B = ছেলে = ১৮ জন
    - G = মেয়ে = ১২ জন
    - S = চশমা পরা = ১৪ জন (১০+৪)
    - NS = চশমা না পরা = ১৬ জন

    B আর G পারস্পরিকভাবে বিচ্ছিন্ন, কারণ কেউ একসাথে ছেলে আর মেয়ে হতে পারে না।

    লিলি বলল, "এখন আমরা ঘটনাগুলোর ছেদ, সংযোগ বের করতে পারি। যেমন — ছেলে আর চশমা পরা = B ∩ S = ১০ জন।"

    মিমি বলল, "মেয়ে আর চশমা না পরা = G ∩ NS = ৮ জন (১২-৪)।"

    মা বললেন, "ঠিক। এভাবেই নমুনা ক্ষেত্র থেকে সব ঘটনা বের করা যায়।"

     ট্রি ডায়াগ্রাম

    মা তাদের ট্রি ডায়াগ্রাম (বৃক্ষচিত্র) শেখালেন। তিনি বললেন, "জটিল পরীক্ষার জন্য সব সম্ভাব্য ফলাফল বের করার একটা ভালো উপায় হলো ট্রি ডায়াগ্রাম।"

    উদাহরণ: দুটো মুদ্রা ছোঁড়া।

    প্রথম মুদ্রা: দুই শাখা — H আর T
    দ্বিতীয় মুদ্রা: প্রতিটি শাখা থেকে আরও দুই শাখা — H আর T

    তাই ফলাফল: HH, HT, TH, TT

    মিমি বলল, "এটা খুব সহজ! ছবি এঁকে বের করা যায়।"

    মা আরেকটা উদাহরণ দিলেন — একটা মুদ্রা আর একটা ডাইস একসাথে ছোঁড়া।

    প্রথমে মুদ্রা: H আর T
    তারপর ডাইস: প্রতিটি শাখা থেকে ৬টা শাখা

    মোট ফলাফল = ২ × ৬ = ১২টা

    লিলি লিখল: H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6

    মা বললেন, "ট্রি ডায়াগ্রাম খুব জটিল পরীক্ষার জন্যও কাজ করে।"

     লিস্টিং বনাম ট্রি ডায়াগ্রাম

    মা তাদের দুটো পদ্ধতির তুলনা দেখালেন:

    লিস্টিং: সরাসরি সব ফলাফল লেখা। ছোট নমুনা ক্ষেত্রের জন্য ভালো।

    যেমন — দুটো মুদ্রা: {HH, HT, TH, TT}

    ট্রি ডায়াগ্রাম: ধাপে ধাপে সব শাখা বের করা। বড় নমুনা ক্ষেত্রের জন্য ভালো।

    যেমন — তিনটা মুদ্রা: প্রথমে দুই শাখা, তারপর আরও দুই, তারপর আরও দুই — মোট ৮টা ফলাফল।

    লিলি বলল, "তিনটা মুদ্রার জন্য লিস্টিং করাও কঠিন না — HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT — ৮টা।"

    মিমি বলল, "কিন্তু ১০টা মুদ্রার জন্য লিস্টিং প্রায় অসম্ভব — ২¹⁰ = ১০২৪টা ফলাফল!"

    মা বললেন, "ঠিক। তখন ট্রি ডায়াগ্রামের ধারণা কাজে লাগে, কিন্তু হাতে আঁকা যায় না — বরং গণিত ব্যবহার করা হয়।"

     গুণন নীতি

    মা তাদের গুণন নীতি (Multiplication Principle) শেখালেন। তিনি বললেন, "যদি একটা পরীক্ষার প্রথম ধাপে mটা উপায় থাকে, দ্বিতীয় ধাপে nটা উপায় থাকে, তাহলে মোট উপায় = m × n।"

    লিলি বলল, "এটা তো ট্রি ডায়াগ্রামের মতোই!"

    মা বললেন, "হ্যাঁ। এটা ট্রি ডায়াগ্রামের গাণিতিক রূপ।"

    উদাহরণ:
    - ২টা মুদ্রা: ২ × ২ = ৪
    - ৩টা মুদ্রা: ২ × ২ × ২ = ৮
    - ২টা ডাইস: ৬ × ৬ = ৩৬
    - মুদ্রা + ডাইস: ২ × ৬ = ১২

    মিমি বলল, "এটা খুব সহজ! গুণ করলেই হয়।"

    মা বললেন, "হ্যাঁ। গুণন নীতি সম্ভাবনা তত্ত্বের খুব গুরুত্বপূর্ণ একটা টুল।"

     স্যাম্পলিং — পুনরাবৃত্তিসহ আর পুনরাবৃত্তি ছাড়া

    মা তাদের স্যাম্পলিং (নমুনায়ন) শেখালেন। তিনি বললেন, "কোনো সেট থেকে কিছু বস্তু বাছাই করার সময় দুই রকম স্যাম্পলিং হয় — পুনরাবৃত্তিসহ (With Replacement) আর পুনরাবৃত্তি ছাড়া (Without Replacement)।"

    লিলি বলল, "পুনরাবৃত্তিসহ মানে?"

    মা বললেন, "মানে বাছাই করার পর জিনিসটা আবার ফিরিয়ে দেওয়া হয়, যাতে পরবর্তী বাছাইয়ে আবার আসতে পারে। যেমন — লটারির টিকিট টানার পর আবার সেই টিকিট ফেরত দেওয়া।"

    মিমি বলল, "আর পুনরাবৃত্তি ছাড়া মানে বাছাই করার পর ফেরত না দেওয়া — যেমন তাস খেলা।"

    মা বললেন, "ঠিক।"

    উদাহরণ: ৫টা লাল, ৩টা নীল মিছরি থেকে ২টা মিছরি বাছাই:

    পুনরাবৃত্তিসহ: প্রথম বাছাই ৮টা, দ্বিতীয় বাছাইও ৮টা — মোট ৮×৮ = ৬৪টা সম্ভাবনা

    পুনরাবৃত্তি ছাড়া: প্রথম বাছাই ৮টা, দ্বিতীয় বাছাই ৭টা — মোট ৮×৭ = ৫৬টা সম্ভাবনা

    লিলি বলল, "পার্থক্য বুঝতে পেরেছি।"

     লিলির নিজের উদাহরণ — বন্ধু নির্বাচন

    লিলি তার চার বন্ধু — রিয়া, মিতা, সুমি, তিথি — থেকে দুজনকে বেছে নেবে সিনেমা দেখতে যাওয়ার জন্য। নমুনা ক্ষেত্র কত?

    মিমি বলল, "এটা পুনরাবৃত্তি ছাড়া — কারণ একই বন্ধু দুবার বাছাই করা যাবে না।"

    লিলি লিস্ট করল:
    {রিয়া-মিতা}, {রিয়া-সুমি}, {রিয়া-তিথি}, {মিতা-সুমি}, {মিতা-তিথি}, {সুমি-তিথি} — মোট ৬টা।

    মা বললেন, "এটাকে বলে কম্বিনেশন। পরে শিখবে।"

    লিলি বলল, "যদি পুনরাবৃত্তিসহ হত, তাহলে {রিয়া-রিয়া}, {মিতা-মিতা} ইত্যাদিও থাকত — মোট ৪×৪ = ১৬টা।"

    মিমি বলল, "কিন্তু একই বন্ধুকে দুবার নেওয়ার মানে হয় না!"

    মা বললেন, "ঠিক। বাস্তবে পুনরাবৃত্তি ছাড়াই বেশি ব্যবহার হয়।"

     নমুনা ক্ষেত্রের আকার

    মা তাদের নমুনা ক্ষেত্রের আকার বের করার বিভিন্ন সূত্র দেখালেন:

    ১. একক পরীক্ষা: nটা ফলাফল থাকলে আকার n
    ২. একাধিক স্বাধীন পরীক্ষা: m × n × ...
    ৩. পুনরাবৃত্তিসহ বাছাই: n^r (যেখানে n = মোট বস্তু, r = বাছাই সংখ্যা)
    ৪. পুনরাবৃত্তি ছাড়া বাছাই: n × (n-১) × ... (r বার)

    লিলি লিখল:
    - ৩টা মুদ্রা: ২³ = ৮
    - ২টা ডাইস: ৬² = ৩৬
    - ৫টা মিছরি থেকে ২টা বাছাই (পুনরাবৃত্তিসহ): ৫² = ২৫
    - ৫টা মিছরি থেকে ২টা বাছাই (পুনরাবৃত্তি ছাড়া): ৫×৪ = ২০

    মিমি বলল, "এই সূত্রগুলো খুব কাজের!"

    মা বললেন, "হ্যাঁ। এগুলো মনে রাখলে অনেক সমস্যা সহজে সমাধান করা যায়।"

     লিলির অনুশীলনী

    লিলি নিজে কিছু অনুশীলনী বানাল:

    ১. একটা মুদ্রা আর একটা ডাইস একসাথে ছোঁড়া হলে নমুনা ক্ষেত্রের আকার কত?
    উত্তর: ২ × ৬ = ১২

    ২. তিনটা ডাইস একসাথে ছোঁড়া হলে?
    উত্তর: ৬ × ৬ × ৬ = ২১৬

    ৩. ১০টা ছাত্র থেকে ৩টা ছাত্র বাছাই (পুনরাবৃত্তি ছাড়া) — কতগুলো সম্ভাবনা?
    উত্তর: ১০ × ৯ × ৮ = ৭২০

    ৪. ১০টা ছাত্র থেকে ৩টা ছাত্র বাছাই (পুনরাবৃত্তিসহ) — কতগুলো সম্ভাবনা?
    উত্তর: ১০ × ১০ × ১০ = ১০০০

    ৫. একটা পরিবারে তিন সন্তান। তাদের লিঙ্গের ভিত্তিতে নমুনা ক্ষেত্রের আকার কত? (ছেলে-মেয়ে)
    উত্তর: ২ × ২ × ২ = ৮

    মিমি বলল, "সবগুলো সঠিক!"

     নমুনা ক্ষেত্রের বাস্তব উদাহরণ

    মা তাদের নমুনা ক্ষেত্রের কিছু বাস্তব উদাহরণ দেখালেন:

    ১. আবহাওয়ার পূর্বাভাস: আগামীকালের আবহাওয়া — {রোদ, মেঘলা, বৃষ্টি, তুষার} — আকার ৪।

    ২. ক্রিকেট ম্যাচ: ফলাফল — {বাংলাদেশ জিতবে, ভারত জিতবে, ড্র, টাই} — আকার ৪।

    ৩. পরীক্ষার ফল: পাশ/ফেল — আকার ২।

    ৪. লটারি: ১ থেকে ১০০-এর মধ্যে যেকোনো সংখ্যা — আকার ১০০।

    ৫. জন্মদিন: সপ্তাহের কোন দিন — {রবি, সোম, মঙ্গল, বুধ, বৃহস্পতি, শুক্র, শনি} — আকার ৭।

    লিলি বলল, "আমাদের চারপাশের সবকিছুরই একটা নমুনা ক্ষেত্র আছে!"

    মিমি বলল, "হ্যাঁ। আর এই নমুনা ক্ষেত্র থেকেই সম্ভাবনা বের করা যায়।"

    রাতে খাবার টেবিলে লিলি আর মিমি তাদের বাবাকে নমুনা ক্ষেত্র শেখাতে লাগল।

    লিলি বলল, "বাবা, তুমি কি জানো, দুটো ডাইস ছুঁড়লে কতগুলো ফলাফল হয়?"

    বাবা বললেন, "৬ × ৬ = ৩৬।"

    মিমি বলল, "আর দুটো মুদ্রা?"

    বাবা বললেন, "২ × ২ = ৪ — HH, HT, TH, TT।"

    লিলি বলল, "তাহলে একটা মুদ্রা আর একটা ডাইস?"

    বাবা বললেন, "২ × ৬ = ১২।"

    মা বললেন, "ওরা এখন নমুনা ক্ষেত্রের ওস্তাদ!"

    বাবা বললেন, "তোরা তো আমার চেয়েও বেশি জানিস!"

    রাতে শোওয়ার আগে লিলি আর মিমি তাদের আজকের পড়া রিভাইজ করল।

    লিলি লিখল:
    - নমুনা ক্ষেত্র = সব সম্ভাব্য ফলাফলের সেট
    - নমুনা ক্ষেত্রের প্রকার: সসীম, অসীম, গণনাযোগ্য, অগণনাযোগ্য
    - ঘটনা = নমুনা ক্ষেত্রের উপসেট
    - সরল ঘটনা = একক ফলাফল
    - যৌগিক ঘটনা = একাধিক ফলাফল
    - পরিপূরক ঘটনা, ছেদ, সংযোগ, পার্থক্য
    - পারস্পরিকভাবে বিচ্ছিন্ন ঘটনা = A ∩ B = ∅

    মিমি লিখল:
    - ট্রি ডায়াগ্রাম — ছবি এঁকে ফলাফল বের করা
    - গুণন নীতি — m × n
    - পুনরাবৃত্তিসহ বাছাই — n^r
    - পুনরাবৃত্তি ছাড়া বাছাই — n × (n-১) × ...
    - উদাহরণ: মুদ্রা (২), ডাইস (৬), তাস (৫২)
    - লিলির অনুশীলনী: ১২, ২১৬, ৭২০, ১০০০, ৮

    লিলি বলল, "কাল আমরা শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা শিখব। সেটা আরও মজা হবে।"

    মিমি বলল, "মানে 'যদি' দেওয়া থাকে, তাহলে সম্ভাবনা কত?"

    লিলি বলল, "হ্যাঁ।"

    তারা ঘুমিয়ে পড়ল।

    টিপস

    তোমরাও লিলি আর মিমির মতো নমুনা ক্ষেত্র শিখে ফেললে। এখন তুমি জানো, কোন পরীক্ষার সব সম্ভাব্য ফলাফলগুলো কীভাবে বের করতে হয়।

    তোমার চারপাশ থেকে নমুনা ক্ষেত্রের উদাহরণ বের করতে পারো। যেমন:

    - একটা লটারির টিকিট — নমুনা ক্ষেত্র = {জিতবে, জিতবে না}
    - একটা পরীক্ষার নম্বর — নমুনা ক্ষেত্র = {০ থেকে ১০০}
    - আজকের খাবার — নমুনা ক্ষেত্র = {ভাত, রুটি, নুডুলস}
    - বন্ধুরা খেলতে আসবে কি আসবে না — {আসবে, আসবে না}
    - বৃষ্টি হবে কি হবে না — {হবে, হবে না}

    এভাবে প্রতিদিন ৫টা করে নমুনা ক্ষেত্র বের করার অভ্যাস করো। তারপর প্রতিটি ফলাফলের সম্ভাবনা বের করার চেষ্টা করো।

    মনে রাখার মূল কথা:
    - নমুনা ক্ষেত্র = সব সম্ভাব্য ফলাফল
    - ঘটনা = নমুনা ক্ষেত্রের উপসেট
    - গুণন নীতি: m × n
    - পুনরাবৃত্তিসহ: n^r
    - পুনরাবৃত্তি ছাড়া: n × (n-১) × ...
    - ট্রি ডায়াগ্রাম জটিল সমস্যার জন্য ভালো

     
    এই অধ্যায়ে আমরা শিখলাম নমুনা ক্ষেত্র। আমরা জানলাম, এটা হলো সব সম্ভাব্য ফলাফলের সেট। আমরা শিখলাম নমুনা ক্ষেত্রের প্রকার — সসীম, অসীম, গণনাযোগ্য, অগণনাযোগ্য। আমরা দেখলাম কীভাবে ট্রি ডায়াগ্রাম আর গুণন নীতি দিয়ে নমুনা ক্ষেত্রের আকার বের করতে হয়। শিখলাম পুনরাবৃত্তিসহ আর পুনরাবৃত্তি ছাড়া বাছাইয়ের পার্থক্য। আর দেখলাম, ঘটনাগুলো নমুনা ক্ষেত্রের উপসেট মাত্র।

    লিলি আর মিমি তাদের নিজের জীবন থেকে অসংখ্য নমুনা ক্ষেত্রের উদাহরণ দিয়েছে — মিছরির জার, ক্লাসের ছাত্রছাত্রী, বন্ধু নির্বাচন — সবকিছুর জন্য। তারা দেখিয়েছে, কীভাবে নমুনা ক্ষেত্র সম্ভাবনা তত্ত্বের ভিত্তি তৈরি করে।

    পরের অধ্যায়ে আমরা শিখব শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা। সেখানে আমরা দেখব, যদি কোনো ঘটনা আগে ঘটে থাকে, তাহলে অন্য ঘটনার সম্ভাবনা কীভাবে বদলে যায়।

    ততক্ষণে, তোমরা নিজেরা নিজেদের জীবন থেকে নমুনা ক্ষেত্র বের করতে থাকো।
     
    পুনঃপ্রকাশ সম্পর্কিত নীতিঃ এই লেখাটি ছাপা, ডিজিটাল, দৃশ্য, শ্রাব্য, বা অন্য যেকোনো মাধ্যমে আংশিক বা সম্পূর্ণ ভাবে প্রতিলিপিকরণ বা অন্যত্র প্রকাশের জন্য গুরুচণ্ডা৯র অনুমতি বাধ্যতামূলক। লেখক চাইলে অন্যত্র প্রকাশ করতে পারেন, সেক্ষেত্রে গুরুচণ্ডা৯র উল্লেখ প্রত্যাশিত।
    1 | 2 | 3
  • মতামত দিন
  • বিষয়বস্তু*:
এই সাইটটি বার পঠিত
  • কি, কেন, ইত্যাদি
  • বাজার অর্থনীতির ধরাবাঁধা খাদ্য-খাদক সম্পর্কের বাইরে বেরিয়ে এসে এমন এক আস্তানা বানাব আমরা, যেখানে ক্রমশ: মুছে যাবে লেখক ও পাঠকের বিস্তীর্ণ ব্যবধান। পাঠকই লেখক হবে, মিডিয়ার জগতে থাকবেনা কোন ব্যকরণশিক্ষক, ক্লাসরুমে থাকবেনা মিডিয়ার মাস্টারমশাইয়ের জন্য কোন বিশেষ প্ল্যাটফর্ম। এসব আদৌ হবে কিনা, গুরুচণ্ডালি টিকবে কিনা, সে পরের কথা, কিন্তু দু পা ফেলে দেখতে দোষ কী? ... আরও ...
  • আমাদের কথা
  • আপনি কি কম্পিউটার স্যাভি? সারাদিন মেশিনের সামনে বসে থেকে আপনার ঘাড়ে পিঠে কি স্পন্ডেলাইটিস আর চোখে পুরু অ্যান্টিগ্লেয়ার হাইপাওয়ার চশমা? এন্টার মেরে মেরে ডান হাতের কড়ি আঙুলে কি কড়া পড়ে গেছে? আপনি কি অন্তর্জালের গোলকধাঁধায় পথ হারাইয়াছেন? সাইট থেকে সাইটান্তরে বাঁদরলাফ দিয়ে দিয়ে আপনি কি ক্লান্ত? বিরাট অঙ্কের টেলিফোন বিল কি জীবন থেকে সব সুখ কেড়ে নিচ্ছে? আপনার দুশ্‌চিন্তার দিন শেষ হল। ... আরও ...
  • বুলবুলভাজা
  • এ হল ক্ষমতাহীনের মিডিয়া। গাঁয়ে মানেনা আপনি মোড়ল যখন নিজের ঢাক নিজে পেটায়, তখন তাকেই বলে হরিদাস পালের বুলবুলভাজা। পড়তে থাকুন রোজরোজ। দু-পয়সা দিতে পারেন আপনিও, কারণ ক্ষমতাহীন মানেই অক্ষম নয়। বুলবুলভাজায় বাছাই করা সম্পাদিত লেখা প্রকাশিত হয়। এখানে লেখা দিতে হলে লেখাটি ইমেইল করুন, বা, গুরুচন্ডা৯ ব্লগ (হরিদাস পাল) বা অন্য কোথাও লেখা থাকলে সেই ওয়েব ঠিকানা পাঠান (ইমেইল ঠিকানা পাতার নীচে আছে), অনুমোদিত এবং সম্পাদিত হলে লেখা এখানে প্রকাশিত হবে। ... আরও ...
  • হরিদাস পালেরা
  • এটি একটি খোলা পাতা, যাকে আমরা ব্লগ বলে থাকি। গুরুচন্ডালির সম্পাদকমন্ডলীর হস্তক্ষেপ ছাড়াই, স্বীকৃত ব্যবহারকারীরা এখানে নিজের লেখা লিখতে পারেন। সেটি গুরুচন্ডালি সাইটে দেখা যাবে। খুলে ফেলুন আপনার নিজের বাংলা ব্লগ, হয়ে উঠুন একমেবাদ্বিতীয়ম হরিদাস পাল, এ সুযোগ পাবেন না আর, দেখে যান নিজের চোখে...... আরও ...
  • টইপত্তর
  • নতুন কোনো বই পড়ছেন? সদ্য দেখা কোনো সিনেমা নিয়ে আলোচনার জায়গা খুঁজছেন? নতুন কোনো অ্যালবাম কানে লেগে আছে এখনও? সবাইকে জানান। এখনই। ভালো লাগলে হাত খুলে প্রশংসা করুন। খারাপ লাগলে চুটিয়ে গাল দিন। জ্ঞানের কথা বলার হলে গুরুগম্ভীর প্রবন্ধ ফাঁদুন। হাসুন কাঁদুন তক্কো করুন। স্রেফ এই কারণেই এই সাইটে আছে আমাদের বিভাগ টইপত্তর। ... আরও ...
  • ভাটিয়া৯
  • যে যা খুশি লিখবেন৷ লিখবেন এবং পোস্ট করবেন৷ তৎক্ষণাৎ তা উঠে যাবে এই পাতায়৷ এখানে এডিটিং এর রক্তচক্ষু নেই, সেন্সরশিপের ঝামেলা নেই৷ এখানে কোনো ভান নেই, সাজিয়ে গুছিয়ে লেখা তৈরি করার কোনো ঝকমারি নেই৷ সাজানো বাগান নয়, আসুন তৈরি করি ফুল ফল ও বুনো আগাছায় ভরে থাকা এক নিজস্ব চারণভূমি৷ আসুন, গড়ে তুলি এক আড়ালহীন কমিউনিটি ... আরও ...
গুরুচণ্ডা৯-র সম্পাদিত বিভাগের যে কোনো লেখা অথবা লেখার অংশবিশেষ অন্যত্র প্রকাশ করার আগে গুরুচণ্ডা৯-র লিখিত অনুমতি নেওয়া আবশ্যক। অসম্পাদিত বিভাগের লেখা প্রকাশের সময় গুরুতে প্রকাশের উল্লেখ আমরা পারস্পরিক সৌজন্যের প্রকাশ হিসেবে অনুরোধ করি। যোগাযোগ করুন, লেখা পাঠান এই ঠিকানায় : guruchandali@gmail.com ।


মে ১৩, ২০১৪ থেকে সাইটটি বার পঠিত
পড়েই ক্ষান্ত দেবেন না। খারাপ-ভাল মতামত দিন।