এই সাইটটি বার পঠিত
ভাটিয়ালি | টইপত্তর | বুলবুলভাজা | হরিদাস পাল | খেরোর খাতা | বই
  • খেরোর খাতা

  • সম্ভাবনা তত্ত্ব: রাজার নতুন শিক্ষানীতি  অধ্যায় ৫: দৈব চলক(Random Variable)  —

    albert banerjee লেখকের গ্রাহক হোন
    ১৫ মার্চ ২০২৬ | ৩৫ বার পঠিত
  • 1 | 2 | 3 | 4 | 5
      লিলির লুডু খেলা

    আগের অধ্যায়ে আমরা শিখেছিলাম বেয়েসের উপপাদ্য — শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনার উল্টোটা বের করার জাদুর সূত্র। লিলি আর মিমি এখন বুঝতে পেরেছে, কীভাবে নতুন তথ্যের ভিত্তিতে সম্ভাবনা আপডেট করতে হয়। আজকের অধ্যায়ে আমরা শিখব দৈব চলক (Random Variable) — সম্ভাবনা তত্ত্বের আরেকটা গুরুত্বপূর্ণ ধারণা।

    পরদিন সকালে লিলি তার মায়ের কাছে গিয়ে বলল, "মা, গতকাল আমরা বেয়েসের উপপাদ্য শিখেছি। কিন্তু একটা জিনিস বুঝতে পারছি না — আমরা সবসময় ঘটনা নিয়ে কথা বলি, কিন্তু ঘটনার মান তো বিভিন্ন রকম হতে পারে। যেমন ডাইসের সংখ্যা — এটা একটা সংখ্যা। এই সংখ্যাগুলো নিয়ে কি কোনো হিসাব করা যায়?"

    মা বললেন, "অবশ্যই যায়। এখানেই আসে দৈব চলকের ধারণা। দৈব চলক হলো এমন একটা চলক, যার মান নির্ভর করে দৈব ঘটনার ওপর।"

    মিমি বলল, "দৈব চলক?

    মা বললেন, "ঠিক। ইংরেজিতে Random Variable। এটা একটা ফাংশন যা প্রতিটি দৈব ফলাফলের সাথে একটা সংখ্যা জুড়ে দেয়।"

    লিলি বলল, "তাহলে শুরু করি?"

     দৈব চলক কী

    মা তাদের দৈব চলকের সংজ্ঞা দিতে শুরু করলেন। তিনি বললেন, "দৈব চলক হলো একটা ফাংশন যা নমুনা ক্ষেত্রের প্রতিটি বিন্দুকে একটা বাস্তব সংখ্যায় পাঠায়।"

    লিলি লিখল:
    - X: S → R
    - X একটা দৈব চলক
    - S = নমুনা ক্ষেত্র
    - R = বাস্তব সংখ্যার সেট

    মিমি বলল, "মানে প্রতিটি ফলাফলের জন্য একটা সংখ্যা ঠিক করে দিই?"

    মা বললেন, "ঠিক। যেমন — মুদ্রা ছোঁড়ার পরীক্ষায় X(মাথা) = ১, X(লেজ) = ০ ধরতে পারো।"

    লিলি বলল, "তাহলে X হলো একটা নিয়ম যা ফলাফলকে সংখ্যায় রূপান্তর করে।"

     দৈব চলকের প্রকার

    মা তাদের দৈব চলকের দুই প্রকার দেখালেন:

    ১. বিচ্ছিন্ন দৈব চলক (Discrete Random Variable) — যার মান গুলো গণনা করা যায়। যেমন — ডাইসের সংখ্যা {১,২,৩,৪,৫,৬}, মুদ্রার ফলাফল {০,১}, লটারির টিকিট {জিতবে, জিতবে না}।

    ২. নিরবচ্ছিন্ন দৈব চলক (Continuous Random Variable) — যার মান যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে। যেমন — তাপমাত্রা, উচ্চতা, ওজন, সময়।

    লিলি লিখল:
    - বিচ্ছিন্ন: মানগুলো আলাদা আলাদা, গণনা করা যায়
    - নিরবচ্ছিন্ন: মানগুলো একটা ব্যবধানের মধ্যে যেকোনো মান নিতে পারে

    মিমি বলল, "ডাইস বিচ্ছিন্ন, তাপমাত্রা নিরবচ্ছিন্ন — বুঝতে পেরেছি।"

     লিলির নিজের উদাহরণ — লুডুর ছক্কা

    লিলি লুডু খেলছে। সে একটা ডাইস ছুড়ল। ডাইসের সংখ্যাটা একটা দৈব চলক। ধরি X = ডাইসের সংখ্যা।

    X-এর মান হতে পারে: ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬
    প্রত্যেক মানের সম্ভাবনা = ১/৬

    লিলি লিখল:
    P(X=১) = ১/৬
    P(X=২) = ১/৬
    ...
    P(X=৬) = ১/৬

    মিমি বলল, "এটাকে বলে সম্ভাবনা বণ্টন (Probability Distribution)।"

    মা বললেন, "ঠিক। সম্ভাবনা বণ্টন বলে দেয়, দৈব চলকের প্রতিটি মানের সম্ভাবনা কত।"

     সম্ভাবনা বণ্টন

    মা তাদের সম্ভাবনা বণ্টনের সংজ্ঞা দিলেন। তিনি বললেন, "সম্ভাবনা বণ্টন হলো একটা টেবিল বা ফাংশন যা দৈব চলকের প্রতিটি মানের সম্ভাবনা দেখায়।"

    বিচ্ছিন্ন দৈব চলকের জন্য:
    - সব সম্ভাবনার সমষ্টি ১
    - প্রতিটি সম্ভাবনা ০ আর ১-এর মধ্যে

    লিলি ডাইসের জন্য বণ্টন লিখল:

    | x          |      ১ |    ২ |    ৩ |    ৪ |    ৫ |    ৬ |
    | P(X=x) | ১/৬ | ১/৬ | ১/৬ | ১/৬ | ১/৬ | ১/৬ |

    মিমি বলল, "সবগুলো সমান — এটাকে বলে সমবণ্টন (Uniform Distribution)।"

    মা বললেন, "ঠিক। যখন সব মানের সম্ভাবনা সমান, তখন তাকে সমবণ্টন বলে।"

     আরেকটা উদাহরণ — দুটো মুদ্রা

    মিমি দুটো মুদ্রা ছোঁড়ার পরীক্ষা নিল। নমুনা ক্ষেত্র S = {HH, HT, TH, TT}

    ধরি X = মাথা পড়ার সংখ্যা।
    তাহলে:
    - HH → X = ২
    - HT → X = ১
    - TH → X = ১
    - TT → X = ০

    সম্ভাবনা বণ্টন:
    P(X=০) = ১/৪ = ০.২৫
    P(X=১) = ২/৪ = ০.৫
    P(X=২) = ১/৪ = ০.২৫

    লিলি বলল, "এটা সমবণ্টন না — মাঝের মানের সম্ভাবনা বেশি।"

    মা বললেন, "ঠিক। এটাকে বলে দ্বিপদ বণ্টন (Binomial Distribution) এর বিশেষ রূপ।"

     দ্বিপদ বণ্টনের ধারণা

    মা তাদের দ্বিপদ বণ্টনের প্রাথমিক ধারণা দিলেন। তিনি বললেন, "দ্বিপদ বণ্টন হয় যখন একটা পরীক্ষা বারবার করা হয়, আর প্রতিবার দুইটা ফলাফল থাকে — সফল আর ব্যর্থ।"

    লিলি বলল, "যেমন — মুদ্রা ছোঁড়া: মাথা (সফল) আর লেজ (ব্যর্থ)।"

    মা বললেন, "ঠিক। n বার পরীক্ষায় r বার সফল হওয়ার সম্ভাবনা বের করার সূত্র আছে।"

    সূত্র: P(X = r) = C(n,r) × p^r × (1-p)^(n-r)

    যেখানে:
    - n = মোট পরীক্ষার সংখ্যা
    - r = সফলতার সংখ্যা
    - p = প্রতিবার সফল হওয়ার সম্ভাবনা
    - C(n,r) = n থেকে r বেছে নেওয়ার উপায়

    মিমি বলল, "এটা একটু জটিল!"

    মা বললেন, "হ্যাঁ, কিন্তু পরে বিস্তারিত দেখব।"

     ক্রমযোজিত বণ্টন

    মা তাদের ক্রমযোজিত বণ্টন (Cumulative Distribution) শেখালেন। তিনি বললেন, "ক্রমযোজিত বণ্টন F(x) = P(X ≤ x) — অর্থাৎ X-এর মান x-এর সমান বা ছোট হওয়ার সম্ভাবনা।"

    লিলি ডাইসের জন্য বের করল:
    F(১) = P(X ≤ ১) = ১/৬
    F(২) = P(X ≤ ২) = ২/৬ = ১/৩
    F(৩) = P(X ≤ ৩) = ৩/৬ = ১/২
    F(৪) = P(X ≤ ৪) = ৪/৬ = ২/৩
    F(৫) = P(X ≤ ৫) = ৫/৬
    F(৬) = P(X ≤ ৬) = ১

    মিমি বলল, "এটা একটু একটু করে বাড়ে, শেষে ১ হয়।"

    মা বললেন, "ঠিক। ক্রমযোজিত বণ্টন সবসময় ০ থেকে শুরু হয়ে ১-এ গিয়ে শেষ হয়।"

     গড় (প্রত্যাশিত মান)

    মা তাদের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ধারণা শেখালেন — গড় বা প্রত্যাশিত মান (Expected Value)।

    তিনি বললেন, "প্রত্যাশিত মান হলো দৈব চলকের গড় মান, যদি পরীক্ষা অনেকবার করা হয়।"

    সূত্র: E(X) = Σ [x × P(X=x)] — সব মানের সম্ভাবনা দিয়ে গুণ করে যোগ করলে হয়।

    লিলি ডাইসের জন্য বের করল:
    E(X) = ১×(১/৬) + ২×(১/৬) + ৩×(১/৬) + ৪×(১/৬) + ৫×(১/৬) + ৬×(১/৬)
    = (১+২+৩+৪+৫+৬)/৬ = ২১/৬ = ৩.৫

    মিমি বলল, "ডাইসের গড় ৩.৫ — মানে অনেকবার ছুঁড়লে গড়ে ৩.৫ আসবে।"

    মা বললেন, "ঠিক। ৩.৫ কখনোই আসবে না, কিন্তু গড় এটাই।"

     আরেকটা উদাহরণ — মুদ্রার গড়

    মিমি মুদ্রার উদাহরণে গড় বের করল। ধরি, X = মাথা পড়ার সংখ্যা (একটা মুদ্রা)।

    X-এর মান: ০ (লেজ), ১ (মাথা)
    P(X=০) = ০.৫, P(X=১) = ০.৫

    E(X) = ০×০.৫ + ১×০.৫ = ০.৫

    লিলি বলল, "মানে অনেকবার ছুঁড়লে গড়ে অর্ধেকবার মাথা পড়বে — এটা তো জানা কথা!"

    মা বললেন, "হ্যাঁ। কিন্তু এই গড় বের করার পদ্ধতি পরে আরও জটিল ক্ষেত্রে কাজে লাগবে।"

     দুটো মুদ্রার গড়

    মিমি দুটো মুদ্রার উদাহরণে গড় বের করল। X = মাথা পড়ার সংখ্যা।

    X-এর মান: ০, ১, ২
    P(X=০) = ০.২৫, P(X=১) = ০.৫, P(X=২) = ০.২৫

    E(X) = ০×০.২৫ + ১×০.৫ + ২×০.২৫ = ০ + ০.৫ + ০.৫ = ১

    লিলি বলল, "দুটো মুদ্রায় গড়ে ১টা মাথা পড়ে — এটাও জানা কথা!"

    মা বললেন, "ঠিক। কিন্তু এই পদ্ধতি দিয়ে তুমি যেকোনো জটিল দৈব চলকের গড় বের করতে পারবে।"

     ভেদাঙ্ক আর প্রমাণ বিচ্যুতি

    মা তাদের ভেদাঙ্ক (Variance) আর প্রমাণ বিচ্যুতি (Standard Deviation) শেখালেন। তিনি বললেন, "গড় জানলে আমরা জানি মানগুলো কোথায় কেন্দ্রীভূত। কিন্তু এগুলো কতটা ছড়িয়ে আছে, সেটা জানতে ভেদাঙ্ক দরকার।"

    ভেদাঙ্কের সূত্র: Var(X) = E[(X - μ)²] = E(X²) - [E(X)]²

    যেখানে μ = E(X)

    প্রমাণ বিচ্যুতি: σ = √Var(X)

    লিলি ডাইসের জন্য বের করল:

    প্রথমে E(X²) বের করি:
    E(X²) = ১²×(১/৬) + ২²×(১/৬) + ৩²×(১/৬) + ৪²×(১/৬) + ৫²×(১/৬) + ৬²×(১/৬)
    = (১+৪+৯+১৬+২৫+৩৬)/৬ = ৯১/৬ ≈ ১৫.১৬৭

    E(X) = ৩.৫, [E(X)]² = ১২.২৫

    Var(X) = ১৫.১৬৭ - ১২.২৫ = ২.৯১৭
    σ = √২.৯১৭ ≈ ১.৭১

    মিমি বলল, "মানে ডাইসের মানগুলো গড় ৩.৫ থেকে প্রায় ১.৭১ এর মধ্যে ওঠানামা করে?"

    মা বললেন, "ঠিক।"

     লিলির নিজের উদাহরণ — পরীক্ষার নম্বর

    লিলি তার পরীক্ষার নম্বরগুলো নিয়ে একটা দৈব চলক বানাল। তার পাঁচটা পরীক্ষায় নম্বর: ৭০, ৮০, ৬৫, ৯০, ৮৫

    ধরি X = পরীক্ষার নম্বর। প্রতিটি নম্বরের সম্ভাবনা ১/৫ (যেহেতু পাঁচটা পরীক্ষা সমান গুরুত্বপূর্ণ)।

    E(X) = (৭০+৮০+৬৫+৯০+৮৫)/৫ = ৩৯০/৫ = ৭৮

    E(X²) = (৭০²+৮০²+৬৫²+৯০²+৮৫²)/৫
    = (৪৯০০+৬৪০০+৪২২৫+৮১০০+৭২২৫)/৫
    = ৩০৮৫০/৫ = ৬১৭০

    Var(X) = ৬১৭০ - ৭৮² = ৬১৭০ - ৬০৮৪ = ৮৬
    σ = √৮৬ ≈ ৯.২৭

    মিমি বলল, "তাহলে লিলির নম্বরগুলো গড় ৭৮ থেকে প্রায় ৯.২৭ এর মধ্যে ওঠানামা করে।"

    লিলি বলল, "হ্যাঁ। আমার সবচেয়ে কম ৬৫ (৭৮-১৩) আর সবচেয়ে বেশি ৯০ (৭৮+১২) — ৯.২৭ এর কাছাকাছি।"

     গড়ের বৈশিষ্ট্য

    মা তাদের গড়ের কিছু বৈশিষ্ট্য বললেন:

    ১. E(c) = c — যেখানে c ধ্রুবক। কোনো ধ্রুবকের গড় সেই ধ্রুবকই।
    ২. E(cX) = c × E(X)
    ৩. E(X + Y) = E(X) + E(Y)
    ৪. যদি X আর Y স্বাধীন হয়, তাহলে E(XY) = E(X) × E(Y)

    লিলি লিখল:
    E(২X) = ২ × E(X)
    E(X+৫) = E(X) + ৫

    মিমি বলল, "এগুলো মনে রাখলে অনেক সমস্যা সহজে করা যায়।"

    মা বললেন, "ঠিক। গড়ের এই বৈশিষ্ট্যগুলো খুব কাজের।"

     ভেদাঙ্কের বৈশিষ্ট্য

    মা তাদের ভেদাঙ্কের কিছু বৈশিষ্ট্যও বললেন:

    ১. Var(c) = ০ — ধ্রুবকের কোনো ছড়িয়ে পড়া নেই
    ২. Var(cX) = c² × Var(X)
    ৩. Var(X + c) = Var(X)
    ৪. যদি X আর Y স্বাধীন হয়, তাহলে Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)

    লিলি লিখল:
    Var(২X) = ৪ × Var(X)
    Var(X+৫) = Var(X)

    মিমি বলল, "ভেদাঙ্ক স্কেলিংয়ে বর্গ হয়, কিন্তু শিফটিংয়ে বদলায় না — মজার!"

    মা বললেন, "ঠিক। কারণ ভেদাঙ্ক মানে ছড়িয়ে পড়া, অবস্থান না।"

     আদর্শ বণ্টন

    মা তাদের আদর্শ বণ্টন (Standard Distribution) সম্পর্কে একটু বললেন। তিনি বললেন, "সম্ভাবনা তত্ত্বে কিছু বিশেষ বণ্টন আছে যা বারবার আসে।"

    ১. সমবণ্টন (Uniform Distribution) — সব মানের সম্ভাবনা সমান। যেমন ডাইস।

    ২. দ্বিপদ বণ্টন (Binomial Distribution) — n বার পরীক্ষা, প্রতিবার দুই ফলাফল। যেমন মুদ্রা ছোঁড়া।

    ৩. পোয়াসোঁ বণ্টন (Poisson Distribution) — বিরল ঘটনার সংখ্যা। যেমন — এক ঘণ্টায় কয়টা ফোন কল আসে।

    ৪. স্বাভাবিক বণ্টন (Normal Distribution) — ঘণ্টার মতো আকৃতি। মানুষের উচ্চতা, ওজন, পরীক্ষার নম্বর — অনেক কিছুই স্বাভাবিক বণ্টন মেনে চলে।

    লিলি বলল, "এত রকম বণ্টন!"

    মা বললেন, "হ্যাঁ। পরের অধ্যায়গুলোতে আমরা এগুলো নিয়ে বিস্তারিত দেখব।"

     লিলির অনুশীলনী

    লিলি নিজে কিছু অনুশীলনী বানাল:

    ১. একটা মুদ্রা তিনবার ছোঁড়া হলো। X = মাথা পড়ার সংখ্যা। X-এর সম্ভাবনা বণ্টন বের করো।

    সম্ভাবনা:
    - ০ মাথা: TTT → ১/৮
    - ১ মাথা: HTT, THT, TTH → ৩/৮
    - ২ মাথা: HHT, HTH, THH → ৩/৮
    - ৩ মাথা: HHH → ১/৮

    ২. উপরোক্ত X-এর গড় বের করো:
    E(X) = ০×(১/৮) + ১×(৩/৮) + ২×(৩/৮) + ৩×(১/৮) = (০+৩+৬+৩)/৮ = ১২/৮ = ১.৫

    ৩. উপরোক্ত X-এর ভেদাঙ্ক বের করো:
    E(X²) = ০×(১/৮) + ১×(৩/৮) + ৪×(৩/৮) + ৯×(১/৮) = (০+৩+১২+৯)/৮ = ২৪/৮ = ৩
    Var(X) = ৩ - (১.৫)² = ৩ - ২.২৫ = ০.৭৫
    σ = √০.৭৫ ≈ ০.৮৬৬

    মিমি বলল, "সবগুলো সঠিক!"

     দৈব চলকের বাস্তব ব্যবহার

    মা তাদের দৈব চলকের কিছু বাস্তব ব্যবহার দেখালেন:

    ১. বীমা কোম্পানি — কোনো ব্যক্তির আয়ু কত হবে — এটা একটা দৈব চলক। তার ওপর ভিত্তি করে প্রিমিয়াম ঠিক করে।

    ২. অর্থনীতি — শেয়ার বাজারের দাম — দৈব চলক। গড় আর ভেদাঙ্ক বের করে বিনিয়োগ সিদ্ধান্ত নেওয়া হয়।

    ৩. ওষুধ কোম্পানি — নতুন ওষুধের কার্যকারিতা — দৈব চলক। ক্লিনিক্যাল ট্রায়ালে গড় আর ভেদাঙ্ক বের করে।

    ৪. ক্রীড়া — কোনো খেলোয়াড়ের গড় রান — দৈব চলকের গড়।

    ৫. আবহাওয়া — তাপমাত্রা, বৃষ্টিপাত — নিরবচ্ছিন্ন দৈব চলক।

    লিলি বলল, "আমাদের চারপাশের সবকিছুই দৈব চলক!"

    মিমি বলল, "হ্যাঁ। আমরা সবসময় দৈব চলক নিয়ে কাজ করি, জানি না।"

    রাতে খাবার টেবিলে লিলি আর মিমি তাদের বাবাকে দৈব চলক শেখাতে লাগল।

    লিলি বলল, "বাবা, তুমি কি জানো, ডাইসের গড় ৩.৫?"

    বাবা বললেন, "কিন্তু ডাইসে তো ৩.৫ আসে না!"

    মিমি বলল, "গড় বলতে বোঝায় অনেকবার ছুঁড়লে গড়ে ৩.৫ হবে। একবারে নয়।"

    লিলি বলল, "আর ভেদাঙ্ক ২.৯১৭ — মানে মানগুলো ৩.৫ থেকে ১.৭১ এর মধ্যে ওঠানামা করে।"

    বাবার  খুব আনন্দ হলো। 

     শোওয়ার আগে

    রাতে শোওয়ার আগে লিলি আর মিমি তাদের আজকের পড়া রিভাইজ করল।

    লিলি লিখল:
    - দৈব চলক: নমুনা ক্ষেত্রের প্রতিটি বিন্দুকে বাস্তব সংখ্যায় পাঠায়
    - বিচ্ছিন্ন দৈব চলক: মানগুলো গণনা করা যায় (ডাইস, মুদ্রা)
    - নিরবচ্ছিন্ন দৈব চলক: মান যেকোনো বাস্তব সংখ্যা (তাপমাত্রা, উচ্চতা)
    - সম্ভাবনা বণ্টন: প্রতিটি মানের সম্ভাবনা
    - ক্রমযোজিত বণ্টন: F(x) = P(X ≤ x)

    মিমি লিখল:
    - গড় (প্রত্যাশিত মান): E(X) = Σ x × P(X=x)
    - ভেদাঙ্ক: Var(X) = E[(X-μ)²] = E(X²) - μ²
    - প্রমাণ বিচ্যুতি: σ = √Var(X)
    - গড়ের বৈশিষ্ট্য: E(cX) = cE(X), E(X+Y) = E(X)+E(Y)
    - ভেদাঙ্কের বৈশিষ্ট্য: Var(cX) = c²Var(X), Var(X+c) = Var(X)

    লিলি লিখল:
    - উদাহরণ: ডাইসের গড় ৩.৫, ভেদাঙ্ক ২.৯১৭
    - তিনটি মুদ্রার গড় ১.৫, ভেদাঙ্ক ০.৭৫
    - পরীক্ষার নম্বরের গড় ৭৮, ভেদাঙ্ক ৮৬

    মিমি বলল, "কাল আমরা দ্বিপদ বণ্টন শিখব। সেটা আরও মজা হবে।"

    লিলি বলল, "মানে n বার পরীক্ষায় r বার সফল হওয়ার সম্ভাবনা?"

    মিমি বলল, "হ্যাঁ।"

    তারা ঘুমিয়ে পড়ল।

    টিপস

    তোমরাও লিলি আর মিমির মতো দৈব চলক শিখে ফেললে। এখন তুমি জানো, দৈব চলক হলো একটা সংখ্যা যা দৈব ঘটনার ওপর নির্ভর করে।

    তোমার চারপাশ থেকে দৈব চলকের উদাহরণ বের করতে পারো। যেমন:

    - আজকে কতটা বৃষ্টি পড়বে? (নিরবচ্ছিন্ন)
    - আজকে কয়টা বন্ধু খেলতে আসবে? (বিচ্ছিন্ন)
    - পরীক্ষায় কত নম্বর পাবে? (বিচ্ছিন্ন, কিন্তু ০-১০০ এর মধ্যে)
    - সকালে উঠে কত মিনিট দেরি করলে? (নিরবচ্ছিন্ন)
    - লটারিতে কত টাকা জিতবে? (বিচ্ছিন্ন, নির্দিষ্ট কিছু মান)

    এভাবে প্রতিদিন ৫টা করে দৈব চলকের উদাহরণ বের করার অভ্যাস করো। তারপর সেগুলোর গড় আর ভেদাঙ্ক বের করার চেষ্টা করো।

    মনে রাখার মূল কথা:
    - দৈব চলক = ফলাফলকে সংখ্যায় রূপান্তর
    - বিচ্ছিন্ন = গণনা করা যায়
    - নিরবচ্ছিন্ন = মাপা যায়
    - গড় = প্রত্যাশিত মান
    - ভেদাঙ্ক = ছড়িয়ে পড়ার মাত্রা

    এই অধ্যায়ে আমরা শিখলাম দৈব চলক। আমরা জানলাম, এটা একটা ফাংশন যা প্রতিটি দৈব ফলাফলের সাথে একটা সংখ্যা জুড়ে দেয়। আমরা শিখলাম বিচ্ছিন্ন আর নিরবচ্ছিন্ন দৈব চলকের পার্থক্য। দেখলাম সম্ভাবনা বণ্টন, ক্রমযোজিত বণ্টন, গড়, ভেদাঙ্ক, প্রমাণ বিচ্যুতি — দৈব চলকের গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য।

    লিলি আর মিমি তাদের নিজের জীবন থেকে অসংখ্য উদাহরণ দিয়েছে — ডাইস, মুদ্রা, পরীক্ষার নম্বর — সবকিছুর জন্য। তারা দেখিয়েছে, কীভাবে দৈব চলকের গড় আর ভেদাঙ্ক বের করতে হয়।

    পরের অধ্যায়ে আমরা শিখব দ্বিপদ বণ্টন। সেখানে আমরা দেখব, কীভাবে n বার পরীক্ষায় r বার সফল হওয়ার সম্ভাবনা বের করতে হয়।

    ততক্ষণে, তোমরা নিজেরা নিজেদের জীবন থেকে দৈব চলকের উদাহরণ বের করতে থাকো।
     
    পুনঃপ্রকাশ সম্পর্কিত নীতিঃ এই লেখাটি ছাপা, ডিজিটাল, দৃশ্য, শ্রাব্য, বা অন্য যেকোনো মাধ্যমে আংশিক বা সম্পূর্ণ ভাবে প্রতিলিপিকরণ বা অন্যত্র প্রকাশের জন্য গুরুচণ্ডা৯র অনুমতি বাধ্যতামূলক। লেখক চাইলে অন্যত্র প্রকাশ করতে পারেন, সেক্ষেত্রে গুরুচণ্ডা৯র উল্লেখ প্রত্যাশিত।
    1 | 2 | 3 | 4 | 5
  • মতামত দিন
  • বিষয়বস্তু*:
এই সাইটটি বার পঠিত
  • কি, কেন, ইত্যাদি
  • বাজার অর্থনীতির ধরাবাঁধা খাদ্য-খাদক সম্পর্কের বাইরে বেরিয়ে এসে এমন এক আস্তানা বানাব আমরা, যেখানে ক্রমশ: মুছে যাবে লেখক ও পাঠকের বিস্তীর্ণ ব্যবধান। পাঠকই লেখক হবে, মিডিয়ার জগতে থাকবেনা কোন ব্যকরণশিক্ষক, ক্লাসরুমে থাকবেনা মিডিয়ার মাস্টারমশাইয়ের জন্য কোন বিশেষ প্ল্যাটফর্ম। এসব আদৌ হবে কিনা, গুরুচণ্ডালি টিকবে কিনা, সে পরের কথা, কিন্তু দু পা ফেলে দেখতে দোষ কী? ... আরও ...
  • আমাদের কথা
  • আপনি কি কম্পিউটার স্যাভি? সারাদিন মেশিনের সামনে বসে থেকে আপনার ঘাড়ে পিঠে কি স্পন্ডেলাইটিস আর চোখে পুরু অ্যান্টিগ্লেয়ার হাইপাওয়ার চশমা? এন্টার মেরে মেরে ডান হাতের কড়ি আঙুলে কি কড়া পড়ে গেছে? আপনি কি অন্তর্জালের গোলকধাঁধায় পথ হারাইয়াছেন? সাইট থেকে সাইটান্তরে বাঁদরলাফ দিয়ে দিয়ে আপনি কি ক্লান্ত? বিরাট অঙ্কের টেলিফোন বিল কি জীবন থেকে সব সুখ কেড়ে নিচ্ছে? আপনার দুশ্‌চিন্তার দিন শেষ হল। ... আরও ...
  • বুলবুলভাজা
  • এ হল ক্ষমতাহীনের মিডিয়া। গাঁয়ে মানেনা আপনি মোড়ল যখন নিজের ঢাক নিজে পেটায়, তখন তাকেই বলে হরিদাস পালের বুলবুলভাজা। পড়তে থাকুন রোজরোজ। দু-পয়সা দিতে পারেন আপনিও, কারণ ক্ষমতাহীন মানেই অক্ষম নয়। বুলবুলভাজায় বাছাই করা সম্পাদিত লেখা প্রকাশিত হয়। এখানে লেখা দিতে হলে লেখাটি ইমেইল করুন, বা, গুরুচন্ডা৯ ব্লগ (হরিদাস পাল) বা অন্য কোথাও লেখা থাকলে সেই ওয়েব ঠিকানা পাঠান (ইমেইল ঠিকানা পাতার নীচে আছে), অনুমোদিত এবং সম্পাদিত হলে লেখা এখানে প্রকাশিত হবে। ... আরও ...
  • হরিদাস পালেরা
  • এটি একটি খোলা পাতা, যাকে আমরা ব্লগ বলে থাকি। গুরুচন্ডালির সম্পাদকমন্ডলীর হস্তক্ষেপ ছাড়াই, স্বীকৃত ব্যবহারকারীরা এখানে নিজের লেখা লিখতে পারেন। সেটি গুরুচন্ডালি সাইটে দেখা যাবে। খুলে ফেলুন আপনার নিজের বাংলা ব্লগ, হয়ে উঠুন একমেবাদ্বিতীয়ম হরিদাস পাল, এ সুযোগ পাবেন না আর, দেখে যান নিজের চোখে...... আরও ...
  • টইপত্তর
  • নতুন কোনো বই পড়ছেন? সদ্য দেখা কোনো সিনেমা নিয়ে আলোচনার জায়গা খুঁজছেন? নতুন কোনো অ্যালবাম কানে লেগে আছে এখনও? সবাইকে জানান। এখনই। ভালো লাগলে হাত খুলে প্রশংসা করুন। খারাপ লাগলে চুটিয়ে গাল দিন। জ্ঞানের কথা বলার হলে গুরুগম্ভীর প্রবন্ধ ফাঁদুন। হাসুন কাঁদুন তক্কো করুন। স্রেফ এই কারণেই এই সাইটে আছে আমাদের বিভাগ টইপত্তর। ... আরও ...
  • ভাটিয়া৯
  • যে যা খুশি লিখবেন৷ লিখবেন এবং পোস্ট করবেন৷ তৎক্ষণাৎ তা উঠে যাবে এই পাতায়৷ এখানে এডিটিং এর রক্তচক্ষু নেই, সেন্সরশিপের ঝামেলা নেই৷ এখানে কোনো ভান নেই, সাজিয়ে গুছিয়ে লেখা তৈরি করার কোনো ঝকমারি নেই৷ সাজানো বাগান নয়, আসুন তৈরি করি ফুল ফল ও বুনো আগাছায় ভরে থাকা এক নিজস্ব চারণভূমি৷ আসুন, গড়ে তুলি এক আড়ালহীন কমিউনিটি ... আরও ...
গুরুচণ্ডা৯-র সম্পাদিত বিভাগের যে কোনো লেখা অথবা লেখার অংশবিশেষ অন্যত্র প্রকাশ করার আগে গুরুচণ্ডা৯-র লিখিত অনুমতি নেওয়া আবশ্যক। অসম্পাদিত বিভাগের লেখা প্রকাশের সময় গুরুতে প্রকাশের উল্লেখ আমরা পারস্পরিক সৌজন্যের প্রকাশ হিসেবে অনুরোধ করি। যোগাযোগ করুন, লেখা পাঠান এই ঠিকানায় : guruchandali@gmail.com ।


মে ১৩, ২০১৪ থেকে সাইটটি বার পঠিত
পড়েই ক্ষান্ত দেবেন না। আলোচনা করতে মতামত দিন।