টইপত্তরে কয়েক সপ্তাহ আগে যদুবাবু সিম্পসনএর প্যারাডক্স নিয়ে একটি ভারী চমৎকার লেখা লিখেছিলেন, তাতে তিনি Bayes theorem এর উল্লেখ করেছেন । অষ্টাদশ শতকে টমাস Bayes conditional probability 'র একটি প্রতিপাদ্য লিখেছিলেন, সেটি মোটামুটি এইরকম:
P(A | B) = P(B | A) X P(A) / P(B)
কতকটা বাংলায় এইরকম দাঁড়ায়:
| চিহ্নটির বাংলা অর্থ ধরুন " অমুক আছে ধরে নিয়ে ", তার মানে
P(A|B) = B আছে ধরে নিয়ে A 'র সম্ভাবনা ।
P (বৃষ্টি । ঘন মেঘ) = ঘন মেঘ করেছে ধরে নিয়ে বৃষ্টির সম্ভাবনা , :-) এইরকম ।
Bayes এর কৃতিত্ব এই যে তিনি "ঘন মেঘ জমেছে ধরে নিয়ে বৃষ্টির" সম্ভাবনা কে "বৃষ্টি হয়েছে ধরে নিয়ে ঘন মেঘের সম্ভাবনা" দিয়ে অংকের খাতায় নিয়ে আসার পথ দেখিয়েছিলেন, তাঁর প্রতিপাদ্যটি এক্ষেত্রে এইরকম:
P (বৃষ্টি । ঘন মেঘ) = P (ঘন মেঘ । বৃষ্টি ) X P (বৃষ্টি) / P (ঘন মেঘ)
এখন বৃষ্টি হলেই যে ঘন মেঘ জমবে তবেই বৃষ্টি হবে তেমনটা নাও হতে পারে, আবার, ঘন মেঘ জমলেই যে বৃষ্টি হবেই তাও নয়, কখন বৃষ্টি হবে আর কখন হবে না, এই দুটোকে বৃষ্টি আর ঘন মেঘ জমার পারস্পরিক সম্ভাবনা থেকেও বিচার করা যেতে পারে ।
তো ভ্যাকসিন পাওয়া আর করোনা হওয়ার ব্যাপারটাও ঐরকম । কিছু মানুষের ভ্যাকসিন পেলেও করোনা হয়, আর ভ্যাকসিন না পেলে করণের সম্ভাবনা অংকটাই বেশি । আবার ভ্যাকসিন এর প্রথম ডোজের পর করণের সম্ভাবনাও অনেকটা থেকেই যায় । দ্বিতীয় ডোজের পর অবিশ্যি সে সম্ভাবনা অংকটা কম হবার কথা (দু সপ্তাহ পর) । ভ্যাকসিন নেবার পর করোনা আটকানোর ব্যাপারটিকে ভ্যাকসিনের সাফল্য বলা চলে । আর ভ্যাকসিন পাবার পর করোনা হবার ব্যাপারটিকে ব্রেকথ্রু ইনফেকশন বা ভ্যাকসিন ফেল করে গেছে বলে ধরে নিতে হবে । তার মানে
Ve = যদি শতকরা ভ্যাকসিন এর সাফল্য ধরেন, তাহলে
(1 - Ve ) = ভ্যাকসিনের ব্যর্থতা তত শতাংশ মানুষের মধ্যে ।
যেমন ধরুন যদি কোনো ভ্যাকসিনের সাফল্য ৮০% শতাংশ হয়, Ve = 0.8,
তার মানে ভ্যাকসিনের ব্যর্থতা = (1 - Ve) = 0.2
মনে করুন P (V ) = যত শতাংশ মানুষ ভ্যাকসিন পেয়েছেন তার পরিমাপ , যেমন যদি ৫০% শতাংশ মানুষ ভ্যাকসিন পেয়ে থাকেন তাহলে P(V) = 0.5
এইরকম ।
এবারে ভ্যাকসিনএর ব্যর্থতা যদি ০.২ হয় (মানে 1 - Ve আর কি ), এ কথার অর্থ শতকরা কতজনের ক্ষেত্রে ভ্যাকসিন পেয়েছেন ধরে নিয়ে করোনা হয়েছে? :-)
P(করোনা হয়েছে । ভ্যাকসিন পেয়েছেন) = (1 - Ve)
আর শতকরা কতজনের করোনা হয়েছে অথচ ভ্যাকসিন নিয়েছেন?
Bayes এর সূত্র অনুযায়ী,
P(ভ্যাকসিন পেয়েছেন । করোনা হয়েছে )
= P(করোনা হয়েছে । ভ্যাকসিন পেয়েছেন) X P(V) / P(করোনা )
P(করোনা ) মানে করোনা হবার সম্ভাবনা কতটা?
মনে করুন P(V) শতাংশ মানুষ ভ্যাকসিন নিয়েছেন, আর P(করোনা ) শতাংশ মানুষের মোট করোনা হবার সম্ভাবনা, তার মানে এঁদের মধ্যে
(1 - Ve) X P(V) শতাংশ মানুষের ভ্যাকসিন ফেল করার জন্য করোনা, আর
(1 - P(V) ) শতাংশ মানুষের ভ্যাকসিন না নেয়ার জন্য করোনা হবে বলে ধরে নিতে হবে ।
অর্থাৎ,
P(করোনা ) = (1 - Ve) X P(V) + (1 - P(V) ) = 1 - (Ve X P(V))
সব মিলিয়ে,
P(ভ্যাকসিন পেয়েছেন । করোনা হয়েছে ) = (1 - Ve) X P(V) / 1 - (Ve X P(V))
মনে করুন, দেশে ৬০% লোককে ভ্যাকসিন দেওয়া হয়েছে (যেমনটি বিলেতে হয়েছে ), এবং সেই ভ্যাকসিন এর সাফল্য ৯০% , তাহলে কত শতাংশ কেসের মধ্যে ভ্যাকসিন পেয়েছেন এমন খুঁজে পাওয়া যাবে?
এখানে,
Ve = 90% = 0.90
P(V) = 60% = 0.6
P(ভ্যাকসিন পেয়েছেন । করোনা হয়েছে ) = (1 - 0.9) X 0.6 / 1 - (0.9 X 0.6) = 0.06/0.46 = 0.13,
১৩% শতাংশ কোরোনার কেসে দেখবেন মানুষ ভ্যাকসিন পেয়েছেন ।
কাজেই ভ্যাকসিন নিলে যে করোনার হাত থেকে এযাত্রা বেঁচে গেলেন, সেটি পুরো নাও হতে পারে, :-), তবে অসুখ হলেও খুব মারাত্মক হবে না বলা যেতে পারে ।
ভারি সুন্দর লেখা। দুয়েকটা কথা ছিল, অরিনবাবু অবশ্যই জানেন, তাও মনে করানো আর কি :-)
বেজ থিওরেম এর অংক ট্রি স্ট্রাকচার এঁকে বা কনটিনজেনসি টেবিল বানিয়ে (বিশেষ করে ২ * ২ টেবিল যদি বানানো যায়, মানে দোটো ভেরিয়েবল আর তাদের দুটো করে লেভেল) আরও চট করে বুঝে নেওয়া যায়।
যেমন এখানে দুটো ভেরিয়েবল, ডোজ দেওয়া আর করোন হওয়া। দেশে ৬০ জন লোক ডোজ পেয়েছে, ৪০ জন পায়নি। যে ৬০ জন পেয়েছে তাদের মধ্যে ১০ জনের হয়েছে আর যে ৪০ জন পায়নি তাদের মধ্যে ৩০ জনের হয়েছে। এটা দিয়ে চট করে একটা টেবিল বানিয়ে সবকটা এ গিভেন বি বা বি গিভেন এ বার করে নেওয়া যায়।
ভাল বলেছেন, @dc, এই নিন ডায়াগ্রাম, একই ব্যাপার, ৪৬ জনের মধ্যে ৬ জনের ভ্যাকসিন নিলেও কোভিড হতে পারে, তাই ১৩% , :-)
টেবিলও তাই,
| ভ্যাকসিন | করোনার সম্ভাবনা আছে | করোনার সম্ভাবনা নেই | মোট |
|------------|---------------------------|---------------------------|---------|
| পেয়েছেন | ৬ জন | ৫৪ জন | ৬০ জন |
| পাননি | ৪০ জন | ০ জন | ৪০ জন |
| মোট | ৪৬ জন | ৫৪ জন | ১০০ জন |
একই ব্যাপার: ৪৬ জনের মধ্যে ৬ জনের ভ্যাকসিন নেওয়া আছে, অতএব ১৩% শতাংশ করোনা কেসে ভ্যাকসিন নিয়েছেন দেখা যাবে।
অবশ্য এতে বিস্তর assumption আছে, ভ্যাকসিন না পেলে যে করোনা ১০০% হবেই, তার কোন মানে নেই , :-)
অসাধারন হয়েছে! এই টেবিলটা থেকে অডস রেশিও বার করাও সহজ :-)
এটা দারুন লেগেছে, অরিন দা ,অনেক ধন্যবাদ। ডিসি তোমাকেও ধন্যবাদ:-)
এই লেখাগুলো খুব ভালো হচ্ছে। আমার মত সাধারণ মানুষ সহজে বুঝতে পারছে। অরিন ও ডিসিকে ধন্যবাদ।
ধন্যবাদ, @ অরিন ও ডিসি
অসামান্য লেখা। এবং উপস্থাপনার পটভূমিও চিত্তাকর্ষ, নিতান্ত প্রয়োজনীয়।
অনেক অনেক পাঠককে পড়াতে হবে এই অনন্যসাধারণ লেখা। কুর্ণিশ, অরিন!
দারুণ উপস্থাপনা। ধন্যবাদ।
সহজ কথায়, যুক্তিপূর্ণ বিশ্লষণের মাধ্যমে বিষয়টাকে তুলে ধরার জন্য অরিনকে ধন্যবাদ। আর ডিসি-কেও ধন্যবাদ যথোচিত সংযোজনের জন্য।
বাঃ, সুন্দর লিখেছেন। আমি এফিকেসি-র ক্যালকুলেশন বোঝাতে এই ছবিটে দিই। কতকটা ঐ টেবিলের পায়ার মতন। (ছবিটা বিশালাকৃতিক্স হয়ে গেলো, সরি)
আমি আপনার লেখা দেখেই পড়ে ফেলি, বিশেষ করে এই সিরিজের লেখাগুলো। আর বেইজ থিয়োরেম আমার খুব-ই প্রিয় জিনিষ, যদিও আমি 'বেইজিয়ানিজম সত্য কারণ ইহা বিজ্ঞান' টাইপের এভাঞ্জেলিস্ট নই :D
পরের কিস্তিটা এই ব্যাপারেই লিখছি তবে খোঁড়া শামুকের স্পীডে। এইখানে লেখার চেষ্টা করতে গিয়ে দেখলাম ফর্মুলা লেখা খুব ঝক্কি, বিশেষ করে ফ্র্যাকশন :( ওয়ার্ড থেকে কপি-পেস্ট করে হচ্ছে না।
যদুবাবু ,আপনার লেখাটা পড়ার অপেক্ষায় রইলাম ।এখানে ফর্মুলা লেখা ঝামেলার দেখেছি । আমি অবিশ্যি ওয়ার্ড ব্যবহার করিনা , LaTeX এ ফর্মুলা লিখে অভ্যেস হয়ে গেছে ,এখানে MathJax থাকলে এগুলো লিখতে একটু সুবিধে হয় ।
তবে গুরু তো অঙ্ক নামক আতঙ্ক ছড়ানোর জায়গা নয়, :-), ঐটেই বাঁচোয়া ।
আমিও তো লেটেকেই লিখি সব পেপার, কিন্তু ম্যাথজ্যাক্সে সড়গড় নই, মার্ক-আপ জাতীয় কিছু? আর গুরুতে কি সেটা ব্যবহার করা যায়? মানে এই নীচের ছবিতে যেমন আছে, তেমনটা কি \frac{}{} দিয়ে করা যাবে? সরি অনেক বেয়াড়া বাজে প্রশ্ন :)
আমি তো ওভারলিফে লিখে কপি পেস্ট করি।
এই যেমন উপরে করলাম। সংখ্যাগুলো ইংরেজিতে হলে আমার পড়তে সুবিধে হয়, সেটা একটা ব্যাপার।
তুমি কি লেটেক পার্ট-টা কপি করলে না কম্পাইল্ড পিডিএফ থেকে স্ক্রিন শট নিয়ে সেভ করে imgur? সেকেন্ড অপশন-টা আমি করলাম একটু আগে, খুব খাটুনি। :(
যদিও ফর্মুলা না দেওয়াটাই বোধহয় বেটার। কে জানে।
যদুবাবু , Abhyu ,এই যে Mathjax এর ওয়েবসাইট ,
অনলাইনে লিখে স্ক্রীনশট নিয়ে ছবিটা ডাইরেক্টলি কপি পেস্ট করলাম - ফাইল সেভ না করে, imgur না করেই। মানে বেসিক্যালি সেকেণ্ড অপশন কিন্তু অতো কিছু না।
এবাবা তাই তো :D স্ক্রিনশট পেস্ট করলেই হচ্ছে।
একেবারেই 'মজিনু বিফল তপে, অবরেণ্যে বরি' মোমেন্ট।