এই সাইটটি বার পঠিত
ভাটিয়ালি | টইপত্তর | বুলবুলভাজা | হরিদাস পাল | খেরোর খাতা | বই
  • খেরোর খাতা

  • শ্রীনিবাস রামানুজন - শেষ ভাগ

    Subhadeep Ghosh লেখকের গ্রাহক হোন
    ২৯ মার্চ ২০২৬ | ১১২ বার পঠিত
  • | শেষ ভাগ
           প্রশান্ত চন্দ্র মহালানবিস ও রামানুজন ছিলেন ঘনিষ্ঠ বন্ধু। তাঁরা প্রায় সমসাময়িক সময়ে কেমব্রিজে ছিলেন। একদিন মহালানবিস রামানুজনের বাড়িতে গিয়ে দেখেন তিনি রান্না করছেন। সেই সময়টা কী করবেন ভেবে মহালানবিস পাশের ঘরে গিয়ে একটা ম্যাগাজিনের পাতায় চোখ বোলাতে থাকেন। ঐ ম্যাগাজিনে একটা কুইজ জাতীয় অঙ্কের প্রশ্ন ছিল,
    এক ভদ্রলোক ইংল্যান্ডের যে অঞ্চলে থাকতেন সেখানে বাড়ির গুলির নম্বর ছিল পরপর, অর্থাৎ 1,2,3,4…এই রকম। একদিন ভদ্রলোক আশ্চর্য হয়ে লক্ষ্য করেন, তাঁর বাড়ির বাঁ-দিকের বাড়িগুলির নম্বরের যোগফল তাঁর বাড়ির ডান-দিকের বাড়ি গুলির যোগফলের সমান! প্রশ্নটি হল, যদি ধরে নেওয়া হয় মোট বাড়ির সংখ্যা 100-র বেশি কিন্তু 500-র কম, তাহলে ঐ ভদ্রলোকের বাড়ির নম্বর কত?
     
           মহালানবিস চটপট এর উত্তর বের করে ফেললেন এবং প্রশ্নটি রামানুজন-কে শুনিয়ে তাঁর উত্তর জানতে চান। রামানুজন সঙ্গে সঙ্গে জবাব দেন, “This problem has infinite number of solutions if there is no restriction on the total number of houses. All answers can be obtained from a continued fraction. You may take it down.”। 
    তাঁর এই Continued fraction-টা আমরা একটু পড়ে লিখব, কিন্তু তার আগে প্রশ্নটিকে গাণিতিক সুত্রের আকার দিলে তা হবে,
     
           1+2+3+…..+(x-1)+x+(x+1)+(x+2)+…..+y, যেখানে x হল ভদ্রলোকের বাড়ির নম্বর এবং y হল মোট বাড়ির সংখ্যা।
           তার মানে প্রশ্ন অনুযায়ী, 1+2+3+…..+(x-1) = (x+1)+(x+2)+…..+y হবে
           এর থেকে সাধারণ Arithmetic Progression-এ আমরা শেষ পর্যন্ত পাবো,
                                                                                                   
                                y(y+1) = 2x2 equation-টি
     
           এটা হল একটি non-linear (যেখানে x-র পাওয়ার 1-এর বেশি) quadratic equation। এই ধরনের equation-কে Diophantine equation বলে। এই ধরনের equation-এর একটি solution পাওয়া যেতে পারে, একধিক solution-ও পাওয়া যেতে পারে, আবার কোনো solution নাও পাওয়া যেতে পারে। তৃতীয় শতাব্দীর Diophantus-এর নামে এটি প্রচলিত হলেও, এই ধরনের equation-এর চর্চা 850 খৃষ্টাব্দে আমাদের দেশে মহাভিরাচার্য , 1372 খৃষ্টাব্দে চীনে ইয়েন কাং, ষষ্ঠ শতাব্দীর চীনে চ্যাং এবং অন্যান্য সময়ে আরো অনেকে করেছেন। 
    উল্লেখ অপ্রাসঙ্গিক হবে না, বিখ্যাত Fermat’s Last Theorem-ও এই ধরনের non-linear Diophantine equation: যদি n > 2 হয়, তাহলে equation xn + yn = zn -এর integer-এর (-2, 0, 1, 5…ইত্যাদি, অর্থাৎ fraction বা decimal অংশ নেই ০-সহ এরকম ধনাত্মক, ঋণাত্মক whole number) জন্য কোনো solution পাওয়া যাবে না।
     
           মহালানবিস y(y+1) = 2x2-এর একটিই solution বের করেছিলেন, x=204,  y=288।
     
           আর রামানুজনের বাকরুদ্ধ করে দেওয়া continued fraction-টি ছিল,
                                    1
                     ------------------------------              
                                              1
                                 6 - ------------------              
                                                    1
                                         6 - ------------
                                                        1
                                                  6 - ----
                                                        6 - ………
                রামানুজনঃ
    1. 1/6
    2. 1/(6-(1/6)) = 6/35
    3. 1/(6-(1/6-(1/6))) = 35/204
    4. 1/(6-(1/6-(1/6-(1/6)))) = 204/1189
              এরকম চলবে।

           কাজেই আমরা রামানুজনের কাছ থেকে একটা অসীম ক্রম (infinite sequence) পাচ্ছি – 1/6, 6/35, 35/204, 204/1189,……
           যেখানে 1 ছাড়া সমস্ত denominator বা numerators-ই হল x-এর ক্রমান্বয় value!
     
           তাহলে,
    1. x=6 হলে,  
               y(y+1)=2 X 62 = 8 X 9, অতএব y=8
           2. x=35 হলে,             
               y(y+1)=2 X 352 = 2 X 5 X 7 X 5 X 7 = 49 X 50, অতএব y=49
           3. x=204 হলে, একই ভাবে পাওয়া যাবে, y=288, মহালানবিস শুধুমাত্র এইটিই বার করতে পেড়েছিলেন।
              
              এরকম চলবে।
     
    এর থেকে রামানুজনের বিস্ময়কর গাণিতিক অন্তর্দৃষ্টি ও দক্ষতার ব্যাপারটি পরিস্ফুট হয়। তাকে যখন জিজ্ঞেস করা হয় তিনি চোখের নিমিষে কিভাবে এই continued fraction-টি ভেবে ফেললেন, তাঁর উত্তর ছিল সেই একই, “Answer came to my mind.”!  
     
    পুনঃপ্রকাশ সম্পর্কিত নীতিঃ এই লেখাটি ছাপা, ডিজিটাল, দৃশ্য, শ্রাব্য, বা অন্য যেকোনো মাধ্যমে আংশিক বা সম্পূর্ণ ভাবে প্রতিলিপিকরণ বা অন্যত্র প্রকাশের জন্য গুরুচণ্ডা৯র অনুমতি বাধ্যতামূলক। লেখক চাইলে অন্যত্র প্রকাশ করতে পারেন, সেক্ষেত্রে গুরুচণ্ডা৯র উল্লেখ প্রত্যাশিত।
    | শেষ ভাগ
  • মতামত দিন
  • বিষয়বস্তু*:
এই সাইটটি বার পঠিত
  • কি, কেন, ইত্যাদি
  • বাজার অর্থনীতির ধরাবাঁধা খাদ্য-খাদক সম্পর্কের বাইরে বেরিয়ে এসে এমন এক আস্তানা বানাব আমরা, যেখানে ক্রমশ: মুছে যাবে লেখক ও পাঠকের বিস্তীর্ণ ব্যবধান। পাঠকই লেখক হবে, মিডিয়ার জগতে থাকবেনা কোন ব্যকরণশিক্ষক, ক্লাসরুমে থাকবেনা মিডিয়ার মাস্টারমশাইয়ের জন্য কোন বিশেষ প্ল্যাটফর্ম। এসব আদৌ হবে কিনা, গুরুচণ্ডালি টিকবে কিনা, সে পরের কথা, কিন্তু দু পা ফেলে দেখতে দোষ কী? ... আরও ...
  • আমাদের কথা
  • আপনি কি কম্পিউটার স্যাভি? সারাদিন মেশিনের সামনে বসে থেকে আপনার ঘাড়ে পিঠে কি স্পন্ডেলাইটিস আর চোখে পুরু অ্যান্টিগ্লেয়ার হাইপাওয়ার চশমা? এন্টার মেরে মেরে ডান হাতের কড়ি আঙুলে কি কড়া পড়ে গেছে? আপনি কি অন্তর্জালের গোলকধাঁধায় পথ হারাইয়াছেন? সাইট থেকে সাইটান্তরে বাঁদরলাফ দিয়ে দিয়ে আপনি কি ক্লান্ত? বিরাট অঙ্কের টেলিফোন বিল কি জীবন থেকে সব সুখ কেড়ে নিচ্ছে? আপনার দুশ্‌চিন্তার দিন শেষ হল। ... আরও ...
  • বুলবুলভাজা
  • এ হল ক্ষমতাহীনের মিডিয়া। গাঁয়ে মানেনা আপনি মোড়ল যখন নিজের ঢাক নিজে পেটায়, তখন তাকেই বলে হরিদাস পালের বুলবুলভাজা। পড়তে থাকুন রোজরোজ। দু-পয়সা দিতে পারেন আপনিও, কারণ ক্ষমতাহীন মানেই অক্ষম নয়। বুলবুলভাজায় বাছাই করা সম্পাদিত লেখা প্রকাশিত হয়। এখানে লেখা দিতে হলে লেখাটি ইমেইল করুন, বা, গুরুচন্ডা৯ ব্লগ (হরিদাস পাল) বা অন্য কোথাও লেখা থাকলে সেই ওয়েব ঠিকানা পাঠান (ইমেইল ঠিকানা পাতার নীচে আছে), অনুমোদিত এবং সম্পাদিত হলে লেখা এখানে প্রকাশিত হবে। ... আরও ...
  • হরিদাস পালেরা
  • এটি একটি খোলা পাতা, যাকে আমরা ব্লগ বলে থাকি। গুরুচন্ডালির সম্পাদকমন্ডলীর হস্তক্ষেপ ছাড়াই, স্বীকৃত ব্যবহারকারীরা এখানে নিজের লেখা লিখতে পারেন। সেটি গুরুচন্ডালি সাইটে দেখা যাবে। খুলে ফেলুন আপনার নিজের বাংলা ব্লগ, হয়ে উঠুন একমেবাদ্বিতীয়ম হরিদাস পাল, এ সুযোগ পাবেন না আর, দেখে যান নিজের চোখে...... আরও ...
  • টইপত্তর
  • নতুন কোনো বই পড়ছেন? সদ্য দেখা কোনো সিনেমা নিয়ে আলোচনার জায়গা খুঁজছেন? নতুন কোনো অ্যালবাম কানে লেগে আছে এখনও? সবাইকে জানান। এখনই। ভালো লাগলে হাত খুলে প্রশংসা করুন। খারাপ লাগলে চুটিয়ে গাল দিন। জ্ঞানের কথা বলার হলে গুরুগম্ভীর প্রবন্ধ ফাঁদুন। হাসুন কাঁদুন তক্কো করুন। স্রেফ এই কারণেই এই সাইটে আছে আমাদের বিভাগ টইপত্তর। ... আরও ...
  • ভাটিয়া৯
  • যে যা খুশি লিখবেন৷ লিখবেন এবং পোস্ট করবেন৷ তৎক্ষণাৎ তা উঠে যাবে এই পাতায়৷ এখানে এডিটিং এর রক্তচক্ষু নেই, সেন্সরশিপের ঝামেলা নেই৷ এখানে কোনো ভান নেই, সাজিয়ে গুছিয়ে লেখা তৈরি করার কোনো ঝকমারি নেই৷ সাজানো বাগান নয়, আসুন তৈরি করি ফুল ফল ও বুনো আগাছায় ভরে থাকা এক নিজস্ব চারণভূমি৷ আসুন, গড়ে তুলি এক আড়ালহীন কমিউনিটি ... আরও ...
গুরুচণ্ডা৯-র সম্পাদিত বিভাগের যে কোনো লেখা অথবা লেখার অংশবিশেষ অন্যত্র প্রকাশ করার আগে গুরুচণ্ডা৯-র লিখিত অনুমতি নেওয়া আবশ্যক। অসম্পাদিত বিভাগের লেখা প্রকাশের সময় গুরুতে প্রকাশের উল্লেখ আমরা পারস্পরিক সৌজন্যের প্রকাশ হিসেবে অনুরোধ করি। যোগাযোগ করুন, লেখা পাঠান এই ঠিকানায় : guruchandali@gmail.com ।


মে ১৩, ২০১৪ থেকে সাইটটি বার পঠিত
পড়েই ক্ষান্ত দেবেন না। কল্পনাতীত প্রতিক্রিয়া দিন।